Теорема 1052*.
Ь = ха + уа; Ъ = (х + а)(у + а). Каждую величину можно выразить через любую другую величину и ее отрицание, а именно - или в виде суммы двух произведений, или в виде про&изведения двух сумм; в обоих случаях величина а просто сочленя&ется с некоей величиной jc, а величина а - с некой величиной у.Доказател ьство*\
1. Имеет место:
Ъ-Ъ-1 = Ь(а + а) [так как b-1 = b\ 1 = (а + а)]
= ba + ba [в силу дистрибутивности
= (ab + ua )а + (ab + va)a,
умножения] [так как аа- 0]
где и и v означать произвольные величины, a x = ab + uay y = ab-f va.
2. Имеет место:
(jc + а)()> + я) = ху + ха + уа +аа [в силу дистрибутивности
[так как а • а = 0] (согласно 105.1)
= ху + ха + у а — ху + b = b.
Теорема 105а. / о а = ха + уал*. Каждую логическую формулу, зависящую от а, можно привести к уравнению первой степени вида: ха + уа, где х и у не зависят от а.
умножения относительно сложения]
Доказательство. 1. Непосредственно из № 1056, так как foa есть некоторая величина Ь. 2. Однако доказательство можно
провести и иначе, разложив /оа, какой бы вид она ни имела, и, используя при этом многократные сложения и умножения вели&чин, придти к формам иа и ш, что, после удаления всех скобок, принимает вид:
foa = SXnuaaa + Sli/Wabaa + 51>pwf
= (S\,nua )a + + (S\,pWr p_c )aa [в соответствии
с тем, что * = Ра\,п =
= ($\,пиа)а + (В СООТВЄТСТВИИ
с тем, что аа = 0)
Положив SXnua = jc, а SX/nvb = у, мы получаем выписанное выше уравнение.
Предложение 105Ь.
/ о (я Ас,...
,т, п) = (/ о (а Ас,... ,т))(*пп + у„й)= (хха + + )(*3С + ^3С)...(ДС„ЛІ + )
Каждая логическая формула, содержащая п величин а, Ь, с, ..., т, /г, равна соответствующей формуле, содержащей (п-1) величину а, Ъу с, ..., л, перемноженной с суммой хл + ул.
Доказательство следует непосредственно из 105а. 105с. Определение. Формулы /©1 и /о0 обозначают фор&мулу foa в которой а положено равным 1 или 0 соответственно; а1 будет обозначать величину а, а0 - величину а.
Формула /о(1,0,0,...,1) обозначает соответствующую фор&мулу /оесли в ней а = 1,6 = 0, с = 0, ..., m = 1 и т.д.
Мы будем называть такие формулы протовеличинами (коэффициентами). _
Произведение а1 Ь° с0 • m = a b с • • • т мы будем называть соответствующими основными величинами (конституентами). Формула суммы Sx n/o(a,b,c,...,m)(aVcf ,...,wm) означает
сумму произведений, которые получаются, когда каждая из вели&чин а, Ь, с, ..., ш по порядку сначала приравнивается единице, а потом нулю.
Теорема 105d. /оя = (/о1).д + (/о0)5, f°a = Sx0(foa))aa. Каждая логическая формула одной величины равна величине таї соответствующей формулы от 1 плюс отрицание величины та 1 соответствующей формулы от 0.
Доказательство, / о а = ха + уа (согласно 105а)
Ноимеетсилу: fol = xl + yl=x + 0 = x [так как I =0]
fo0 = xQ + y0 = 0 + yl = y [так как б =1]
поэтому / о а = (/ о 1) а + (/ о 0) о а.
Это предложение было впервые сформулировано и обосновано Булем.
Теорема 105е.
Sxoaabbcc,..., Пп = (а + а)(Ь + Ъ )(с + с)... (п + п) = 1.
Логическая сумма всех основных величин (конституент) для п ве&личин равна единице. Доказательство.
1 = (д + a)(b + b)(c + с)...(л + п) [так как, а + а= 1
для любой величины а]
= S{0aabbcc, лп [в силу дистрибутивности
умножения относительно сложения].
Теорема 105/.
/ о (a..n) = Sfo (а,Ь,с...
п) • (аа*>У...пп).Если взять сумму произведений, полученных полаганием в соот&ветствующей формуле каждой из величин а, Ь, с, ..., п сначала равной единице, а потом - нулю, и каждую из этих формул ум&ножить на соответствующие произведения ая, Ьь, сс,..., лп, где а,
Доказательство - поступательное (индуктивное) относи&тельно числа величин.
Если это утверждение верно для т величин (а, Ь, с,..., т) (до&пущение), то оно верно и для равенства, содержащего на одну величину больше, т.е. для т + 1 величины (at Ь,су ..., ш, п) (след&ствие); ибо
/ о (а,Ь,с... т, л) = (/ о (я,Ь,с,.. .)т)(л:л + уп) = (согласно 105Ь)
= 51в0/ о (а Ac...m,l) = (яа • • сс • • • тт ))(хп + уп) (допущение)
= Suof о (а,с,... ,т,1)(яа • • сс • • • тш )я +
+ 510/о(а,Ь,с,...,т,0)(аа сс ~тт)п (согласно 105d)
= Slfif°(a9b9c,...9m9n)(aa-bb-cc •••тт пп) (согласно 105с).
Теорема 105#.
/ о (а9Ь) = / о (1,1)я? + / о (1,0)яЬ + / о (0 ,l)aZ> + / о (0,0)eF.
Доказательство следует непосредственно из 105/.
Теорема 105Л.
fo(ajb9c) = fo(lXl)abc + fo(lXO)abc + fo(lOyl)abc +
+ / о (0,0,1 )abc + / о (0,0,0)Ш>с.
Доказательство следует непосредственно из 105f.
Теорема 105/.
= 51(о(/о(а,Ь,с,...п) + Го(а,Ь,с,...п)).(аа^ь.сс^ттпп).
Чтобы сложить две логические формулы, содержащие одни и те же п величины, достаточно сложить друг с другом коэффици&енты при каждой конституенте, а полученную сумму с данным конституентом перемножить.
Доказательство непосредственно следует [из дистрибутив&ности умножения относительно сложения].
Теорема 105 L
(/ о (a,Z?,c... ,п)) • (/' о (я Дс,... ,л)) =
= 510(/о(а,Ь,с,...п) + Го(а,Ь,с,...п))ЧааЬьсс^Аіп).
Чтобы перемножить две логические формулы, содержащие одни и те же п величин, нужно перемножить коэффициенты при каждой конституенте, а полученное произведение умножить на данную конституенту.
Доказательство.
Произведение любых двух различных конституент равно нулю, так как в них по крайней мере одна из величин а, Ь, с, ..., п должна встречаться с противоположными знаками (например, а и а) и, значит, обращаться в нуль. Таким образом, остаются только произведения двух одинаковых консти&туент, и они равны данной конституенте. Поэтому для каждой конституенты можно образовать только произведение двух ко&эффициентов.Теорема 105. /.
Г о (а Ас..., л) = Suo(f~ * (А,Ь,С,... П) • (аа • Ъь • Сс • • • пп)).
Чтобы получить отрицание формулы, содержащей п величин, достаточно в каждом члене первоначальной суммы, представлявшей эту формулу, заменить коэффициенты их отри&цаниями.
Доказательство. Имеет место:
= S{0((fo(a9b9c9...n) + f~o(a9b9c9...x\))-(aa-bb сс •••л").
(согласно 105/и 105/)
-(a-f a )(b + Б )(с + с)... (п + п) = 1
= ад/°..,/!))]• Г °(a,b,c,... п) • (aa < • сс • • • лп)
= 0
= л))].[(Го(вДс Л))].
е. Таким образом,
Г о (а Ас,. ..,/!) = 510/~ о (а9Ъ9с п) • (аа • Ьь • сс • • • пп),
что и требовалось доказать.
При образовании отрицания формулы надо следить за тем, чтобы в сумме, представляющей данную формулу, встречались все конституенты. Если в первоначальной формуле отсутствова- ла какая-либо конституента, например а, Ь, с, ... п, то ее коэф&фициент является нулем и поэтому в отрицании формулы коэффициент этой конституенты обратится в 1 и соответству&ющее слагаемое в отрицании этой формулы нельзя будет отбросить.
Впервые это предложение для двух величин а и Ъ сформули&ровал и доказал профессор Шрёдер в сочинении «Сфера опера&ций логического исчисления» (Лейпциг, 1877).
Теорема 105т.
Каждую логическую формулу (функцию), со&держащую п величин, можно привести к нулю, умножив формулу на ее отрицание, или, что то же самое, умножив коэффициенты при каждом члене суммы, представляющей эту формулу, на их отрицания. Каждый коэффициент обращается тогда в нуль; пос&ле этого, однако, каждая конституента может быть умножен на любой коэффициент, если последний, перемноженный с данной конституентой, приводит к нулю.Доказательство.
= (S1)0(/o(a,b,c,...n))'fo(a,b,c,...n))+ „И*в
для какого угодно Ра Ъ с п, если (Pa b с „) (аЛЬьс<~пп) = 0; ибо дан&ная формула остается верной, если в формуле, имеющей вид сум&мы, каждый член равен нулю.
Теорема 105л. Решение логического уравнения. Каждое логи&ческое уравнение от одной величины разрешимо относительно этой величины, а именно, если ха + уа = 0, то ху = 0 и а = их + у, где и - произвольная величина.
Доказательство. Каждую формулу (функцию) от а, согласно 105а, можно привести к форме ха + уа=0. Доказательство этого факта5* состоит из двух частей. Во-первых, надо доказать, что если ха + уа = 0, то ху = 0, а а = ах + у. Во-вторых, надо доказать,
что если ху = 0, а а = их + у, то и ха + уа =0.
I. 1) Уравнение ха + уа = 0, умноженное на х + у, дает:
0 = (х + у)(ха + уа) = ха + хуа + хуа + уа - ху{а+а) = ху.
2) Далее, у - у(а + а) = уа, так как уа = 0. а = а + dry = я + у = а(х + л) + у = ах + у.
II. Если ху = 0 и, вместе с тем, а- их + у, то ха= хих + ху = 0, так как хих = 0 и ху = О,
и имеет место:
О = аа = их а + уа, то есть иха- 0 и уа= О, значит ха + уа=0.
Решение этого уравнения впервые предложил профессор Шредер6* (...)
10. Грассман Г., Грассман Р.
УЧЕНИЕ О ВЕЛИЧИНАХ, ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ УЧЕНИЯ О МЫШЛЕНИИ