ВВЕДЕНИЕ  

«Я привык называть учение о величинах эскизом математиче&ской логики, который другие называют логистикой. Ибо к этому учению относятся простые понятия, предложения, умозаключе&ния и методы. Простые понятия суть величины, отношения меж&ду числами и составленные из них формулы, например, я2, д^г2, га2, аї-Ь2. Предложения бывают предложениями о том, что боль&ше и о том, что меньше, равенствами, предложениями о сходстве или о равных отношениях. Ибо равенство с2 = а^—Ь2 есть предло&жение, так же, как и пропорция (<а-Ь) : с = с : («а-Ъ). Умозаключе&ния суть способы проведения вычислений: сложение, вычитание, умножение, деление, нахождение общего делителя, извлечение корня, перестановка, обращение, соединение, разделение отно&шений и т.д. Наконец, метод указывает, как следует производить доказательство данного предложения или решение данной зада&чи.

Идея этой науки, если бы она должным образом была разра&ботана каким-либо искусным человеком, привела бы к созданию общего раздела математики, представляющего собой легкую и достоверную науку»2*.

В соответствии с этим рассуждением Лейбниц, как мы ви&дим, ограничивает учение о величинах исключительно видами вычислений, которые мы причисляем к учению о числах, или арифметике. Учение о величинах, согласно Лейбницу, должно быть только общим разделом учения о числах - разделом, уста&навливающим для последнего общие законы связывания спосо&бом, сходным с тем, каким это делается во всех ветвях строгого знания в разработанном мною учении о величинах. Но вполне вероятно, что он пришел бы к более общей трактовке учения о величинах, если бы действительно разработал эту ветвь. При&числяет же он к видам вычислений учение о протяженностях, так же как логику, которую он собирался строить на основе cal&culus philosophicus или calc[ulus] ratiocinator, так же как и учение о соединениях, или учение о комбинациях, которое он называет arithmetica binaria или arithm[etica] dyadica. Поэтому для него было бы естественным рассматривать свое учение о величинах тоже как общую часть, лежащую в основе всех ветвей строгого мышления. Поскольку Лейбниц не продвинулся в разработке учения о величинах, то, конечно, дело у него ограничилось вы&движением идеи, которая - а иначе и быть не могло - была не&сколько туманна.

Следующая работа в данной области - «О понятии и объеме чистого учения о числах. Программа Штеттинской Мариинской гимназии», 1827 - была выполнена отцом автора, профессором Юстусом Гюнтером Грассманом3*. В этой работе уже содержится сравнение логики, учения о числах и учения о комбинациях и про&тивопоставление логических наук как связывающих посредством внутренних отношений и наук математических как связывающих посредством внешних отношений, а также подчеркнут принцип, согласно которому некоторая величина может быть полагаема либо полностью равной, либо полностью неравной другой вели&чине.

Здесь же обсуждается идея общего учения о величинах как раздела, единого для всего формального знания - раздела, кото&рый может составить основу как математических, так и логиче- ских наук, - идея, которая отбрасывается им как невыполнимая. Говорится об этом так.

«Прежде всего, общее учение о величинах не может удержи&ваться в рамках абстрагирования от любого особенного рода ве&личин, не потеряв тотчас же всякую прочную почву. Даже опыт&ному мыслителю время от времени нужна остановка, позволяю&щая собрать воедино то, что разложено в абстракции, и тем са&мым дающая передышку для рассмотрения некоторой последова&тельности как завершенной и для использования полученного та&ким образом результата в качестве исходного пункта новой пос&ледовательности. - И далее, а это кажется здесь главным, общее учение о величинах нельзя лишить чисел, не превратив его в поч&ти полное ничто, так как в нем не остается ничего, кроме общей логической связи и ее расторжения, которые, как мы покажем ниже, суть сложение и вычитание.

Уже понятие множителя есть по сути дела некоторое понятие числа, и если в геометрии тоже проявляется нечто подобное, то покоится оно все же на своеобразных свойствах пространствен&ного синтеза и никоим образом не допускает применения к вели&чинам любых видов.

Если же всеобщие знаки должны обозначать не величины во&обще, а только числа, именованные и неименованные, то общее учение о величинах оказывается применимым к величинам всех видов, точно так же как оно применимо к числу. Тем не менее, так называемое буквенное исчисление выступает в этом случае только в качестве особого метода для схематического представ&ления правил связывания чисел и, стало быть, по праву относит&ся к арифметике. - Алгебра и анализ тоже, безусловно, предпола&гают арифметику, поскольку их схемы в каждом своем члене, со&стоящем из сомножителей, хотя бы одного, должны обозначать числа. Поэтому совершенно недопустимо предпосылать арифме&тике буквенное исчисление и все, что с ним связано, в качестве общего учения о величинах».

Дальнейший шаг вперед был сделан братом автора, профес&сором Германом Грассманом в его «Учении о линейных протя&женностях», Лейпциг, 1844 г.

Последний различает уже (см. Вве&дение п. 2) два больших раздела учения о формальном знании: ма&тематику, или учение о формах, и диалектику, или логические на&уки. К математическим ветвям он причисляет (Введение, пп. 6,7) две дискретные ветви: учение о числах и учение о комбинациях (из которых последнее, как впоследствии выяснилось, относится не к математике, а к логическим наукам), а также две непрерыв- ные ветви: учение об интенсивных величинах и учение об экстен&сивных величинах, или учение о протяженностях. Общий раздел математических наук он называет (Введение п. 8) «общим учени&ем о формах» и далее, на с. 1-14, приводит его обзор. В нем он очень кратко и скорее отвлеченно развивает законы сложения и вычитания, умножения и деления, поскольку они действуют и в учении о величинах и в учении о протяженностях, в то время как вычитание и деление не имеют силы для логики, а первое - так&же и для учения о комбинациях. Согласно данной работе моего брата, «общее учение о формах» есть, стало быть, чисто матема&тическая наука, которая имеет силу только для математических ветвей и которая теряет ее для логических наук, не будучи дейст&вительной ни для логики, ни для учения о комбинациях. «Общее учение о формах» моего брата, стало быть, существенно отлича&ется от учения о величинах, поскольку последнее должно состав&лять общую базу как математических, так и логических наук. Впрочем, этот обзор представляет собой только краткий набро&сок, в нем содержится только идея общего учения о математиче&ских формах, которая никак не может - и никоим образом не должна - заменить строго научное изложение этой науки.

Реальную попытку построения учения о величинах предпри&няли в ходе совместной работы, проводившейся в 1847 г., братья Грассманы - Герман и Роберт. Они исходили в ней из отдельных ветвей учения о формах, или математики: из учения о числах и учения о протяженностях, а также из учения о комбинациях. Пос&леднее учение они тогда причисляли еще к математическим вет&вям и пытались обобщить операции, имеющиеся в этой области, однако не смогли придти к законам, которые были бы плодотвор&ны, и поэтому отказались от изложения этой ветви.

Вместо этого они в 1847 г. разработали по отдельности математические ветви: учение о числах и учение о протяженностях. Уже тогда им уда&лось для обеих ветвей устранить ряд ошибок в доказательствах и изложить эти учения с полной строгостью. Математики обычно допускают, чтобы математические величины, например числа, возникали различным образом, не доказывая при этом, что ре&зультаты будут одинаковыми; например, число 7, согласно их подходу, может получиться из 6+1 и из 5+2. Братья поняли, что это неверно, что если стремиться к научной строгости, то каждую величину надлежит порождать единственным - причем самым простым - способом из непосредственно предшествующих вели&чин путем последовательно устанавливаемых связей (как, напри&мер, 7 строится из 6+1) и что каждое строгое доказательство должно проводиться последовательно — таким способом, что если данное предложение верно для я, то оно должно быть верным и для а+1. Это был самый значительный результат тогдашней сов&местной работы. Когда спустя восемь лет, в 1855-1856 гг., братья вернулись к этой своей работе, они отказались от прежнего ме&тода - совместной работы вместе. Они ограничились лишь совме&стными обсуждениями. Один разрабатывал некоторый проект и сообщал о нем; другой критически его анализировал и высказы&вал свои замечания- Такой способ работы оказался в высшей степени плодотворным и успешным и быстро привел к строго научному методу в отдельных ветвях учения о формах, или ма&тематики, а также в логических науках. При данном способе ра&боты скоро выяснилось, что один из братьев - Герман - более склонен к разработке математических ветвей, учения о числах и учения о протяженностях, а другой брат - Роберт - к разработке философских ветвей, логики и учения о соединениях, или учения о комбинациях. И в конце 1856 г. оба брата разделили работу: Герман взял на себя самостоятельную разработку учения о чис&лах и учения о протяженностях, а Роберт - разработку логики и учения о комбинациях. Общая ветвь - учение о величинах, как не имеющая практического значения, тогда полностью выпала из рассмотрения.

Профессор Герман Грассман первым выполнил взятую на себя задачу.

Уже в 1860 г. он выпустил свою «Арифметику»[157], а в 1862 г. - свое «Учение о протяженностях»: оба труда - в строго научной форме. Первая работа, кроме того, вполне раскрывает - особенно в начальных разделах - характер метода, применявшегося тогда обоими братьями, и их борьбу за наивысшую строгость формы.

Другой брат - Роберт Грассман - был тогда еще занят други&ми научными работами, что помешало ему выполнить задачу, ко&торую он взял на себя; лишь в 1870 г. он вернулся к этой работе. Поначалу он намеревался разработать только логику и учение о соединениях, или учение о комбинациях, т.е. ветви логических на&ук; однако в ходе работы он убедился, что обе эти философские ветви, как и обе математические ветви - учение о числах и учение о протяженностях с необходимостью предполагают некоторый общий раздел - учение о величинах, что этот последний можно разработать без труда и что если его развить, то другие четыре ветви приобретут большую краткость и простоту, причем откры&ваются неожиданные параллели и связи. Он, Роберт Грассман, предпочел поэтому разработать все пять разделов и опублико&вать их под названием «Учение о формах, или математика» (Штеттин, 1872). Однако когда автор в 1870 г. начал разработку логических наук - логики и учения о соединениях, - он скоро за&метил, что для объединения он должен был двенадцать раз при&менять последовательное, или индуктивное, доказательство, а для перестановки - шесть раз, в случае отношения - двенадцать раз, а в общей сложности - тридцать раз. Ему стало ясно, что здесь следует искать некоторый общий подход, и он был найден.

После этого он исследовал - с точки зрения действующих в них законов - отдельные ветви учения о формах и логических на&ук: учение о числах и учение о протяженностях, логику и учение о комбинациях. Очевидно - да и с первого взгляда ясно, - что су&ществует ряд законов и связей, которые общи всем ветвям учения о формах логических наук; таковы законы равенства, законы сложения, или складывания, законы умножения, или переплете&ния. Все эти законы действуют и находят применение в учении о понятиях (логике), так же как и в учении о числах (арифметике), в учении о соединениях (учении о комбинациях), в учении о про&тяженностях. Если не учитывать соображений, относящихся к [преподаванию в] школе, то мне кажется ненаучным четырежды выводить - в каждой отдельной ветви заново - одни и те же зако&ны или, тем более, принимать их без вывода и доказательства, вместо того чтобы раз и навсегда строго вывести и доказать их в общем учении о знании. Следовательно, учение о величинах как общий раздел должно предшествовать отдельным ветвям мате&матики и логических наук. Оно образует как бы общий ствол, который несет на себе отдельные ветви.

Однако сложение, или складывание, и умножение, или пере&плетение, вместе с установлением одинаковости [равенства] ни в коей мере не представляют собой единственные и наиболее об&щие способы связывания в учении о величинах. Ибо для них обо&их общими являются закон раскрытия [удаления] скобок, или объединения, с одной стороны, и закон перестановки - с другой. Так, закон для скобок, или закон объединения, ao(boc) = aoboc охватывает закон сложения а + (Ь + с) = а + ? + с и закон умноже&ния a(bc) = abc, а закон перестановки aob = boa - закон сложе&ния a + b = b + a и закон умножения ab = ba. Эти два закона могут и должны быть поэтому развиты до того, как может зайти речь о сложении и умножении.

Кроме того, закон объединения может действовать сам по се&бе, без того, чтобы действовал закон перестановки, и есть много вычислений, в которых действует объединение, но не действует перестановка; стало быть, закон объединения, или закон для ско&бок, должен быть выведен до того, как может зайти речь о пере&становке.

Закон отношения тоже является общим, присущим всем вет&вям учения о формах, или математики, и логическим наукам, за&коном, определяющим отношение между различными ступенями сочленений. Поэтому и этот закон должен быть развит в учении о мышлении - общем разделе учения о мышлении. Наконец, со&единение различных степеней связи - сложение, умножение и от&части также возведение в степень - тоже являются общими всем ветвям учения о формах и логическим наукам, и поэтому также должны выводиться в том же общем разделе учения о мышле&нии - учении о величинах. Учение о величинах, общий раздел, присущий ветвям мышления, есть, стало быть, научная необходи&мость; он обязателен для строгой науки.

Но необходимость учения о величинах, или общего раздела о мышлении, вытекает также из всеобщих задач человеческого мышления - задач, которые являются общими для отдельных ветвей учения о мышлении. Ведь математика и логические нау&ки являются двумя наиболее общими ветвями человеческого мышления, они должны учить нас всеобщим законам мышления и выводить эти законы строго научным образом. Только если понимать учение о величинах в этой полной всеобщности - как ветви, которые лежат в основе всякого научного мышления, ко&торая одна только выводит законы любого строго научного мышления, - лишь тогда обнаруживается научная база учения о величинах.

Предпосылкой учения о величинах является один только че&ловеческий дух с его способностью мышления, т.е. способностью мысленного полагания и связывания сколь угодно многих вели&чин. При этом совершенно безразлично, что ум пожелает поло&жить в качестве величины; он может положить что угодно, но при условии, чтобы каждая величина, которую он полагает, была однозначна, то есть имела одно, а не много значений, так, чтобы ее нельзя было спутать с другими величинами. Многозначную величину ни в одной науке нельзя полагать равной некоторой другой величине, если мы не желаем впасть в ошибочное умозак&лючение. Величины, которые полагает ум, не рассматривая их состоящими из других величин, мы называем простыми, или эле- ментами. Каждая простая [величина] при этом может иметь сколь угодно много частей; так, например, ею может быть все&общность; так, человеческий род может быть полагаем в качест&ве чего-то простого, если мышление рассматривает его как вели&чину, которая не выводится из других величин и не считается из них составленной. Следовательно, любая вещь, любое представ&ление и любое понятие, короче, любое, какое угодно нечто, все, что есть или может быть предметом мышления, может быть по&лагаемо в качестве простого. Однако ум может также полагать простую величину, е, без всякого содержания, только опираясь на то положение, что для данного мыслительного акта она должна быть не сложной, а простой, и в этом состоит строго научное понятие простого в учении о величинах. Тогда, если заданы раз&личные простые [величины] el9 е2> е3, ... еп, то они должны обо&значаться и именоваться различно. Однако один и тот же знак в одном и том же положении всегда обозначает одну и ту же ве&личину.

В свою очередь связь величин может обозначать любое, ка&кое угодно соединение или связывание величин, какое только возможно для человеческого ума, коль скоро оно имеет одно, а не много значений. В учении о величинах дело идет совсем не о том, чт6 собой представляет некоторое связывание; в нем интересуют&ся только тем, какой закон должен действовать для данной связи.

В учении о величинах, стало быть, производится полагание простых [величин], их связывание [сочленение] и затем установ&ление законов этой связи, возможных для человеческого ума. Учение о величинах как общий раздел учения о мышлении, стало быть, совершенно необходимо. Если мы хотим разработать все&общие законы любого мышления, если мы, коротко говоря, хо&тим сделать возможным строго научное мышление, мы должны построить учение о величинах, базу учения о мышлении.

Учение о мышлении есть необходимая база всякого строго научного мышления и всякой строгой науки вообще. Оно соста&вляет краеугольный камень, фундамент формального мышле&ния вообще - и тем самым математики, а также философии.

Руководствуясь этими мыслями, автор в 1870 г. разработал «Учение о величинах», которое опубликовал в 1872 г. Однако это первое издание «Учения о величинах» было еще очень несовер&шенным; это был скорее росток, чем нечто законченное; работа содержала только самые важные предложения, общие для всех ветвей мышления, и только первоначала и наиболее общие пред&ложения учения о величинах (79 предложений).

В издании «Учения о величинах» 1872 г. впервые в науке бы&ло дано общее и вместе с тем строгое определение величины:

Величиной называется все, что есть или может быть предметом мышления, коль скоро оно имеет одно, а не много значений.

Ни у одного автора до меня не было этого единственно исчер&пывающего и единственно строгого определения. Например, в «Арифметике» Германа Грассмана 1860/61 гг. на с. 1, предложе&ние 1, говорится: величиной называется любая вещь, которую можно полагать равной некоторой другой вещи или отличной от нее. Это определение не является вполне исчерпывающим, так как не устанавливает, что надлежит понимать под «вещью», и не является вполне четким, поскольку не говорит о том, что каждая величина может иметь только одно, а не много значений.

Здесь [в «Учении о величинах»] также впервые появляется понятие связи (соединения), причем с исчерпывающей ясностью и с достаточной четкостью.

Связью двух величин называется любое составление или со&единение этих величин, возможное для человеческого ума, коль скоро оно имеет одно, а не много значений.

Точно так же в издании 1872 года оригинальным является вы&ведение законов, относящихся к равенству величин, к последова&тельному (индуктивному), а также простому элементарному дока&зательству; оригинальным является выведение закона объедине&ния из одной основной формулы объединения и, далее, выведения закона перестановки из основной формулы перестановки, что до этого труда нигде в науке не встречалось.

Точно так же в упомянутом издании 1872 г. были развиты, хо&тя и в не слишком вразумительной форме, законы отношения бо&лее высоких связей к нижележащим связям и на этой основе для всех ветвей мышления выведены три порядка связи: сложение, умножение и возведение в степень. При этом каждый из уровней состоит из трех частей, в зависимости от трех видов связи: привя&зывание [die Anknupfung], которое не обладает ни свойством объ&единения, ни перестановки; ввязывание [die Einknupfung], которое обладает объединением, но не обладает перестановкой; и связы&вание [die Verknupfung], которое обладает и тем, и другим свойст&вом - и объединением и перестановкой4*. Этим исчерпываются задачи, которые решаются в этом старом издании «Учения о ве&личинах».

В новом издании 1890 года учение о величинах принимает совершенно новый вид. В старом издании было 79 предложений, в новом их стало 270. В «Учении о величинах» 1872 г. рассматри&вались только те виды связей, которые являются общими для раз&личных ветвей мышления. В новом же издании 1890 г. виды свя&зи стали базой строгого учения о мышлении. В этом учении стро&го научно устанавливаются те виды связи, которые возможны для человеческого ума [der Geist], и те, которые для него невозмож&ны, и на этой основе для каждого вида связи выводятся ее формы и законы.

В учении о формах, или математике, для каждой связи имеет&ся соответствующее разъединение [отделение], для сложения - вы&читание, для умножения - деление, для возведения в степень - из&влечение корня и логарифмирование. Все эти способы разъедине&ния в издании 1872 г. были опущены автором, так как он считал, что они имеют силу только для учения о формах, но не для логи&ческих наук, особенно логики. В предлагаемом новом издании 1890 г. автор рассматривает эти способы разъединения, так как в учении о величинах как раз и должны быть развиты все способы связывания, которые возможны для человеческого ума. В нем, следовательно, должны быть рассмотрены также способы разъе&динения и показана область их действия и их пределы5*. Уже вве&дение этих способов разъединения придает учению о величинах существенно расширенный вид и обогащает его предложениями. Поэтому в новом издании «Учения о величинах», в котором раз&рабатываются виды и роды связи, а также три ее порядка, имеется 270 предложений, более чем в три раза больше, чем в старом из&дании 1872 г.