Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу.

Пусть

- функция непрерывна в односвязной области G,

- вдоль любой кусочно-гладкой дуги AB, принадлежащей G, не зависит от формы дуги, а зависит только от значений функции в точках A, B.

Тогда .

Доказательство.

.

,

Такая запись оправдана тем, что дугу, соединяющую точки z₀ и z + z, можно провести через точку z, так как интеграл не зависит от формы дуги. На том же основании выберем дугу, соединяющую точки z и z + z, отрезком прямой линии, тогда , . Заметим, что (свойство 6 интеграла). Надо доказать, что .

Оценим

(По непрерывности функции . Точка t лежит на отрезке , соединяющем точки z и z + z, поэтому .)

(использованы свойства 4, 6 интеграла).

Следовательно, .

Поэтому . Теорема доказана.

Функция Ф(z) называется первообразной для функции f(z), если .

Следствие. По теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом, он является первообразной для подынтегральной функции.

Теорема. Пусть Ф₁(z), Ф₂(z) – две первообразные для функции f(z), тогда

Ф₁(z) = Ф₂(z) + С (С- константа).

Доказательство. Обозначим g(z) = Ф₁(z) – Ф₂(z). g^’(z) = Ф₁^’(z) – Ф₂^’(z) = f(z) – f(z)=0.

Пусть g(z) = u(x,y) + i v(x,y). Тогда . Отсюда

.