25.Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница.
Пусть 
- непрерывная на отрезке 
функция, а 
- ее первообразная.
, (10.2)
где 
. При изменении 
меняется и определенный интеграл (10.2), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования , которую обозначим через 
:
, (10.3)
Определение. Функция называется интегралом с переменным верхним пределом (с открытым верхним пределом).
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке 
то функция 
так же непрерывна на .
Теорема 2 (о производной интеграла по верхнему пределу). Пусть функция непрерывна на отрезке .
отрезка производная функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции на верхнем пределе, Формула Ньютона-Лейбница. Теорема. Пусть функция 
непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на отрезке равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е.
.
Значение определённого интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла.
Другими словами, Значение определённого интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции на интервале интегрирования.
Формула Ньютона-Лейбница позволяет находить определённый интеграл, обходя суммирование, при помощи первообразных функций.