Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.

Пусть задана функция , требуется определить, может ли она быть действительной частью некоторой аналитической функции , а если может, то восстановить эту функцию.

Та же задача может быть поставлена относительно мнимой части. Пусть задана функция , требуется определить, может ли она быть мнимой частью некоторой аналитической функции , а если может, то восстановить эту функцию.

При решении этих задач сначала надо проверить, существует ли такая аналитическая функция .

Справедлива теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции есть функции гармонические (т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа).

Доказательство. Если - функция аналитическая, то выполнены условия Коши – Римана . Дифференцируем частным образом первое равенство по x, второе по y и складываем. Получим , поэтому функция - гармоническая. Дифференцируем частным образом первое равенство по y, второе по x и вычитаем из первого равенства второе. Получим , поэтому функция - гармоническая.

Следовательно, если функция или функция не являются гармоническими, то аналитическую функцию построить нельзя.

Пусть функция и функция - гармонические функции. Покажем, как можно восстановить аналитическую функцию по известной действительной части .

Восстановление функции по аналогично.

1 способ.

Сравнивая оба выражения, определяем . Теперь .

Замечание. При восстановлении по функция восстанавливается с точностью до действительной постоянной, а не мнимой.

2 способ. (как в первом способе). Если при интегрировании второго условия Коши – Римана возникают проблемы, то можно продифференцировать полученное соотношение по x и приравнять известной функции.

. Решая это дифференциальное уравнение, получим , +С, .

3 способ. В первых двух способах функция восстанавливается как функция x, y. Гораздо приятнее получить ее в виде f(z). В третьем способе используется формула для производной . Так как функция известна, то определяется как функция (x, y). Функцию определяем по формуле