Задача 6

Даны координаты трех точек А (–5; 2; –2), В (–1; 4; –6), С (-4; 1; -6). Требуется найти: 1) каноническое уравнение прямой АВ; 2) уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ, и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ; 3) расстояние от точки С до прямой АВ.

Решение. 1. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки и имеют вид

(15)

Подставив в (15) координаты точек А и В, получим

(АВ)

2. Запишем уравнение плоскости в общем виде . Если плоскость проходит через точку , то уравнение пучка плоскостей имеет вид

.

Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой АВ, то . Заменив коэффициенты А, В, С в уравнении пучка плоскостей соответственно числами 2, 1, –2 и подставляя координаты точки С (–4; 1; –6), получим

. (#952;)

Определим координаты точки пересечения плоскости (#952;) с прямой АВ. Для этого решим систему трех уравнений:

Решая эту систему, находим . Следовательно, плоскость и прямая пересекаются в точке Р (–3; 3; –4).

3. Чтобы найти расстояние от точки С до прямой АВ, достаточно найти расстояние от точки С (–4; 1; –6) до точки пересечения Р (–3; 3; –4) (так как прямая перпендикулярна плоскости #952;). Имеем .