Задача 5

Даны координаты четырех точек: А (0; –2; –1), В (2; 4; –2), С (3; 2; 0) и М (–11; 8; 10). Требуется: 1) составить уравнение плоскости Q , проходящей через точки А, В и С ; 2) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q; 3) найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями xOy, xOz и yOz; 4) найти расстояние от точки М до плоскости Q.

Решение. 1. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2), C (x3; y3; z3), имеет вид

. (10)

Подставив в (10) координаты точек А, В и С, получим

; .

Разложим определитель по элементам первой строки:

.

Сократив на 5, получим уравнение искомой плоскости Q:

(Q). (11)

2. Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид

, (12)

где — координаты точки, через которую проходит прямая (12), а и — направляющие коэффициенты этой прямой. По условию прямая проходит через точку М (–11; 8; 10) и перпендикулярна плоскости Q. Следовательно, подставив в (12) координаты точки М и заменив числа и соответственно числами 2; –1; –2 (коэффициенты общего уравнения плоскости (11)), получим:

.

3. Чтобы найти точки пересечения прямой (13) с плоскостью (11), запишем сначала уравнение прямой (13) в параметрическом виде. Пусть

,

где — некоторый параметр. Тогда уравнения прямой можно записать в виде

. (14)

Подставляя (14) в (11), получим значение параметра :

.

Подставив в (14) , находим координаты точки Р пересечения прямой (13) с плоскостью (11):

Пусть Р1 — точка пересечения прямой (13) с координатной плоскостью хОу; уравнение этой плоскости . При из (14) получаем

Пусть Р2 — точка пересечения прямой (13) с координатной плоскостью хОz; уравнение этой плоскости . При из (14) получаем

Пусть Р3 — точка пересечения прямой (4) с координатной плоскостью хОz; уравнение этой плоскости . При из (14) получаем

4. Так как точка М лежит на прямой (13), которая перпендикулярна плоскости Q и пересекается с ней в точке Р, то для нахождения расстояния от точки М до плоскости Q достаточно найти расстояние между точками М и Р: