Задача 2

Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых от данной точки А (4; 0) и от данной прямой х = 1 равно 2. Найти фокусы гиперболы, составить уравнения асимптот.

Решение. В системе координат хОу построим точку А (4; 0) и прямую х = 1. Пусть М (х; у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр МВ на данную прямую х = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой , то её абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В (1, у) (рис. 2).

По условию задачи МА: МВ = 2. Расстояния МА и МВ находим по формуле (1) задачи 1:

Рис. 2

Возведя в квадрат левую и правую части, получаем

Полученное уравнение определяет гиперболу, у которой действительная полуось , а мнимая — .

Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство . Следовательно, — фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка является правым фокусом гиперболы.

Определим эксцентриситет полученной гиперболы:

.

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид

и .

Следовательно, , или и — асимптоты гиперболы. Предварительно построим асимптоты, а затем и саму гиперболу.