Задача 7. Найти пределы
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Решение. а) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента 
приводит к неопределенности вида 0/0. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий множитель 
. Так как аргумент х только стремится к своему предельному значению 2, но не совпадает с ним, то множитель отличен от нуля при 
:
б) Пусть 
. Тогда 
; очевидно, что если 
, то 
. Следовательно,
(использован первый замечательный предел).
Искомый предел можно найти иначе. Известно, что при нахождении предела отношения двух бесконечно малых величин можно каждую из них (или только одну) заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной. Так как при 
, то
в) При 
основание 
стремится к 1, а показатель степени 4х + 1 стремится к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида 
.
Тогда
Положим 
; при 
переменная 
. Выразим показатель степени через новую переменную у. Так как 
, то 
. Таким образом,
(использован второй замечательный предел).
г) При основание 
стремится к единице, а показатель степени 
стремится к бесконечности. Положим 
, где 
при . Тогда
и 
Выразив основание и показатель степени через #945;, получим
