Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши

Задача. Из статистических данных известно, что для некоторого региона число новорожденных и умерших пропорционально текущей численности населения с коэффициентами пропорциональности и соответственно.

Решение. Пусть - текущая численность населения . За время имеем родившихся и умерших, тогда прирост населения за есть:

, или , где .

Переходя к пределу при , получим ,

- дифференциальное уравнение демографического процесса.

Решая это уравнение, получим: .

Постоянная интегрирования есть численность населения при , т.е. .

Окончательно, имеем .

Определение. Задачей Коши называется задача, в которой для дифференциального уравнения заданы только начальные условия ( и т.д.) и не накладывается никаких граничных условий, (т.е. граница отсутствует).

Пояснение. Для полного описания эволюции какого-либо процесса помимо дифференциального уравнения необходимо, во-первых, задать картину процесса в некоторый фиксированный момент времени (начальные условия и т.д.) и, во-вторых, задать режим на границе области, где протекает процесс (граничные условия).