25. Задача о тепловом импульсе. Ф-ция Грина д/задачи Коши на ¥ прямой.
Имеем стержень.
Кол-во тепла Q=cru0(x2–x1). Задача Коши (1)–(2).
Реш-е задачи (1)–(2) б.искать в классе ф-ций вида u(x,z)=f(x–x1,2/ta), z = (x/ta) – автомодельная переменная, a – показатель автомодели. Подставим u(x,z):
Д/того, чтобы (3) было тождественно по переменной z, a дб = ½.
Д/опр-я этих const f(–¥)=u_; f(+¥)=u0.
Введём эти ф-ции в рассмотрение:
Const нах. из усл-й erf (–¥) = –1, erf (¥) = 1, erf (0)=0.
Разность получается из 2х решений. С течением времени наш куб б.сглаживаться.
Точечный источник тепла. x2®x1 т.е. стягиваем основание импульса к границе при условии Q=cr u0(x2–x1)=const, т.е зн-е тем-ры д.® ¥.
Д/удобства Q/cr=1 ? u0=1/(x2–x1) ? u0 подставляем в предыдущее реш-е, сделав предельный переход:
Предел раскладывается по правилу Лопиталя []®0,
Заменим: x1®x, u(x,t)®G(x,x,t).
– фундаментальное реш-е ур-я теплопроводности. Фунд.реш-е ур-я Лапласа 1/r.
Ф-цией Грина задачи Коши на бесконечной прямой наз. след.реш-е ур-я теплопроводности:
Иначе ф-цию Грина наз. ф-ция влияния мгновенного точечного источника тепла. Мгновенный – т.е. тепло выделяется мгновенно в начальный момент времени. Единичный – òd=1, Q/cr положили =1. Методом Фурье м.решать те задачи, кот.реш.в конечной обл-ти.