Задача 1

1.1-1.20. Решить матричные уравнения и сделать проверку.

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

Указания к задаче 1: матрицы и определители.

Задача 1 связана с действиями над матрицами. Для решения этой задачи следует использовать следующие сведения:

1)Всякая система , расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется матрицей размера class="lazyload" data-src="/files/uch_group38/uch_pgroup166/uch_uch593/image/22.gif"> и записывается в виде:

2) Матрица размера (количество строчек равно количеству столбиков) называется квадратной матрицей порядка m.

3) Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего угла к правому нижнему, называется главной диагональю, а вторая диагональ называется побочной.

4) Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные цифры нули, называется единичной матрицей и обозначается следующим образом:

5) Две матрицы одной размерности равны друг другу, если равны все элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, т.е. если

6) Произведением матрицы

на число называется матрица , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы

на число .

7) Суммой двух матриц одной размерности

называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и , т.е.

+= , где

8) Умножение матрицы на матрицу

Пусть даны две матрицы и , таких что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В .

Сij = ai1 b1j + ai2 b2j +ai3 b3j +...+ain bnj для всех i = 1 до m и j = 1 до к. Заметим, что

9) Определители квадратных матриц Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, обозначаемое

Рассмотрим определители для матриц первого, второго и третьего порядков:

а) Пусть А= (а11 ) , тогда (1)

Из формулы (1) следует, что определитель для матрицы первого порядка совпадает с элементом матрицы

б) Пусть ,тогда (2)

Из формулы (2) следует, что определитель для матрицы второго порядка равен разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях.

в.) Пусть , тогда (3)

Формулу (3) запомнить значительно труднее, чем (1) и (2) , но это и не требуется, так как существуют различные правила, позволяющие легко подсчитать те шесть слагаемых, из которых состоит определитель для матрицы третьего порядка.

Например, можно использовать «правило треугольников», которое условно показано на схемах 1 и 2 .

схема 1 схема 2

Первые три слагаемые, входящие в формулу (3) со своим знаком, подсчитываются в соответствии со схемой 1 , а следующие три слагаемые, входящие с противоположным знаком, подсчитываются по схеме 2 .

10) Алгебраическим дополнением элемента аij квадратной матрицы называется число Аij ,вычисляемое по формуле:

где Mij -определитель полученный из определителя матрицы удалением строки с номером i и столбца с номером j .

11)Обратная матрица

Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если

,где Е - единичная матрица. Из определения следует, что матрицы А и А-1 - квадратные матрицы одного порядка. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от нуля и , где Аij -алгебраические дополнения элемента аij матрицы .

12) Решение простейших алгебраических уравнений

а) , где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой .Тогда.

б) , где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой .Тогда Примеры:

1) Выполнить действия: , где

Решение: ( по п. 6)

(по п.7)

(по п.8)

2) Найти А-1 ,если

Решение:

Проверим, верно ли нашли А-1 . Для этого умножим А на А-1 и убедимся, что получим единичную матрицу.

Задача 1.

Решить уравнение AX - B = C, где