Основные уравнения матфизики.

Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция u = u(x1, . . . ,xn) зависит от нескольких аргументов наз. дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП)

F(x1, .

Порядком ДУЧП наз. порядок старшей производной. Любая функция, которая обращает уравнение в верное тождество наз. решением уравнения. Уравнения, в которые производные и неизвестная функция входят в первой степени, наз. линейными.

При описании реальных процессов аргументами часто служат координаты x, y, z, время t и наиболее существенными оказываются линейные ДУЧП второго порядка, которые наз. уравнениями математической физики (УМФ). Это базовые уравнения теории электричества, квантовой механики и других разделов науки. Самый распространенный в природе процесс – колебательный и его описывает волновое уравнение u - = 0, где= - оператор Лапласа для u = u(x, y, z, t).

Пр. Простейшее уравнение . Его решение включает произвольную функцию и поэтому наз.

Большинство УМФ это линейные ДУЧП 2 порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим случая двух независимых переменных.

a11 + 2a12 + a22 + b1 + b2 + cu = F(x,y) ( 1 )

где a11, a12, a22 , b1 , b2 , c – константы, F(x,y) – задана, u(x,y) – искомая функция. Пусть однородное уравнение ( 1 ) (F(x,y) = 0) имеет два линейно независимых решения u1(x,y) , u2(x,y) [u1(x,y)/u2(x,y)const], тогда их линейная комбинация С1 u1(x,y) +С2 u2(x,y) также является решением. Если однородное линейное ОДУ n – ого порядка имеет n линейно независимых решений, то ДУЧП ( 1 ) имеет бесконечное множество линейно независимых решений и любое из них нельзя представить как линейную комбинацию остальных. В решения может входить переменный параметр : u(x,y, ) или (x,y). Если только целые числа n, то решениями могут быть также бесконечные, сходящиеся в некоторой области D, ряды , где Сn константы.

Рассмотрим главные методы решения трех основных уравнений математической физики.

№	Название	Уравнение	Начальные условия	Граничные условия
а	Волновое уравнение для u(x,t)	= a2 a - const	u(x,t) – амплитуда колебаний струны 0£ x £ l, t > 0 lim u(x,t) = g(x) lim = h(x) при t	lim u(x,t) = m1(t) lim u(x,t) = m2(t) при xи x® l - 0 - закон движения концов струны
б	Уравнение теплопроводности уравнение Фурье	= a2 a - const	lim u(x,t) = u0(x) при t 0	lim u(x,t) = T1(t) lim u(x,t) = T2(t) при xи x
в	Уравнение Лапласа для u(x,t) в области D c границей L	+= 0	Нет	Краевая задача : в каждой точке М границы L задано значение функции u(M)|L =

Уравнение ( а ) описывает колебания струны, стержня, газа, электрические колебания и т.д. Уравнение (б) описывает процесс теплопроводности, фильтрации газа и т.д.(процессы распространения возмущений). Уравнение ( в ) описывает электромагнитные поля, процессы фильтрации, задачи гидромеханики. (стационарные процессы)

Начальные и граничные условия обеспечивают единственность решения и они имеют разную структуру для уравнений разных типов. При конкретных расчетах уравнения получают в самом общем виде ( 1 ) и поэтому важно сразу определить тип уравнения и правильно поставить граничные и начальные условия.