№24. Основные определения и понятия о диф. уравнениях с частными производными.

Дифференциальное уравнение в частных производных (общеупотребительно сокращение (Д)УЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

Из этого соотношения следует, что значение функции u(x,y) не зависит от x. Следовательно, общее решение уравнения следующее: где f — произвольная функция переменной y. Аналогичное обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид: и его решение где c — произвольная константа (независимая от x). Эти два примера показывают, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит неизвестные константы, но общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольные функции. Решение дифференциального уравнения в частных производных, вообще говоря, не единственно. В общем случае на границе рассматриваемой области задаются дополнительные условия. Например, решение выше рассмотренного уравнения (функция f(y)) определяется единственным образом, если u определена на линии x = 0.

Размерность. Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).

Линейность. Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными, либо известными функциями. Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия).

Однородность. Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Порядок. Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.

Классификация уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяются на параболические, эллиптические и гиперболические.

Предположим, что В этом случае линейное уравнение второго порядка, зависящее от двух независимых переменных имеет вид: где коэффициенты A, B, C могут зависть от x и y. Это уравнение похоже на уравнение конического сечения:

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от знака дискриминанта D = B² − 4AC, классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке.

— Эллиптическое уравнение

— Параболическое уравнение

— Гиперболическое уравнение