§ 1. Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях.
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
(1.1),
где F – заданная функция своих аргументов.
В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные
(функции, образованные как результат дифференцирования); термин – «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента. Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент x, искомую функцию 
и любые ее производные, но старшая производная 
обязана входить в уравнение n-го порядка. Например
а) 
– уравнение первого порядка;
б) 
– уравнение третьего порядка.
При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:
в) 
– уравнение второго порядка;
г) 
– уравнение первого порядка,
образующее после деления на dx эквивалентную форму задания уравнения: 
.
Функция 
называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него 
оно обращается в тождество.
Например, уравнение 3-го порядка
имеет решение 
.
Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: 
Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно y(x): 
В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.1).
Например, общим решением дифференциального уравнения 
является следующее выражение: 
, причем второе слагаемое может быть записано и как 
, так как произвольная постоянная 
, делённая на 2, может быть заменена новой произвольной постоянной 
.
Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при 
(1.2)
В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.
Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.