Задача 19. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности

в точке , если и .

Решение. Определим аппликату точки касания; для этого подставляем значения и в данное уравнение поверхности:

Таким образом, — точка касания.

Уравнение касательной плоскости, проведенной к поверхности в точке , имеет вид

(22)

Нормаль проходит через точку касания и перпендикулярна касательной плоскости. Уравнения нормали имеют вид:

. (23)

Найдем частные производные и вычислим их значения в точке касания :

Подставив в (22) найденные значения частных производных и координаты точки касания, получим

или

— уравнение касательной плоскости.

Из (23) имеем

или

— искомые уравнения нормали.