Классификация линейных ДУЧП 2 порядка.

Путем перехода к новым переменным в уравнении ( 1 ) можно исключить некоторые производные 2 порядка. Возникают три варианта упрощенных (канонических) уравнений в зависимости от соотношения между коэффициентами а11, а12, а22 .

Пусть даны две взаимнооднозначные системы координат xOy и pOq, связанные соотношениями x = x(p,q), y = y(p,q) и p = p(x,y), q = q(x,y). Уравнение координатной линии p = const в системе координат хОу имеет вид p(x,y) = const. Дифференциал этой функции двух переменных равен нулю

dp = dx + dy = 0 = - dy/dx ( 2 )

т.е. производные и пропорциональны друг другу в каждой точке плоскости и коэффициент пропорциональности - dy/dx = (x,y) ( 3 )

равен скорости изменения переменной у вдоль линии p = const , проходящей через данную точку. Каждая криволинейная система координат pOq имеет свою характеристику (x,y) и по ней легко определить само уравнение координатной линии

dy = -(x,y)dx y + (x,y) dx = C ( p(x,y) = const ).

Перейдем к новым переменным в ( 1 ) u(x,y) = u(x(p,q), y(p,q)) = u(p,q). Вычислим первые производные и во вторых производных выделим члены, содержащие и

=+; = + ; =()2 + ()2 +. = ()2 + ()2 +. . . ; = + + . . . ,

В результате, в уравнении ( 1 ) перед производными и появится множители A11 = a11()2 + 2a12 + a22()2 и A22 = a11()2 + 2a12 + a22()2

с учетом пропорциональности производных ( 2 ) они примут вид

А11 = ()2 (a112 + 2a12 + a22) = a11()2(-1)( - 2),

А22 = ()2 (a112 + 2a12 + a22) = a11()2(-1)( - 2), ( 5 )

где 1,2 = (-a12 )/ a11 - корни характеристического уравнения

a112 + 2a12 + a22 = 0 , ( 6 )

а =(x,y) - характеристика выбранной системы координат. Если наложить условие (x,y) =-const во всех точках плоскости и выбрать =1 или =2, то А11 = А22 = 0 и , из уравнения выпадают.

Если D = 0 , то 1 = 2 = . Это дает только одну координату p = y +x, а выбор второй достаточно произволен.

Если D < 0 , то общий интеграл уравнения ( 2 ) имеет вид функции комплексной переменной j(x,y) ± iy (x,y) = C1,2 и p = j(x,y) , q = y (x,y)

Таким образом, в зависимости от знака D возникают три варианта исключения производных второго порядка из ( 1 ) и, соответственно, 3 типа канонических уравнений

1) D > 0 Гиперболический тип уравнения. Приводится к виду

+ b1* + b2*+ c*u = F(p,q) или - + b1* + b2*+ c*u = F(p,q)

2) D = 0 Параболический тип уравнения.

+ b1* + b2* = F(p,q)

3) D < 0 Эллиптический тип уравнения. Приводится к виду

+ + b1* + b2*+ c*u = F(p,q)

Различают три вида задач для этих уравнений :

1. задача Коши, для уравнений гиперболического и параболического типов – задаются начальные условия, граничные отсутствуют, область определения уравнения и его решения – вся плоскость;

2. краевая граничная задача, для уравнений эллиптического типа - задаются граничные условия на границе L = , области определения неизвестной функции, начальные условия отсутствуют;

3. смешанная задача, для уравнений гиперболического и параболического типов -задаются начальные и граничные условия.