Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.

Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения будет некоторая функция , которая обращает уравнение в тождество.

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных

производных первого порядка.

Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка от функции можно в общем виде записать как

Линейное уравнение в частных производных имеет вид:

, (1)

где Xi – некоторые заданные функции.

Очевидно, что одним из решений такого уравнения будет функция u = C.

Рассмотрим систему уравнений:

(2)

или - такая система называется нормальной.

Общее решение этой системы имеет вид:

Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С, получим:

Каждая из функций j является интегралом системы (2).

Теорема. Если - интеграл системы (2), то функция - решение уравнения (1).