Математическое описание ЛДС в частотной области

W(jw) — J h(t) exp( - jwt)dt

-ад

Воспользуемся подстановкой Эйлера:

exp( - jwt) — coswt - j sin wt

W(jw) - J h(t) cos wtdt — j J h(t) sin wtdt; (1.12)

— 00

Первое из этих двух слагаемых представляет вещественную, а второе — мнимую частотную характеристики.

ад

ад

ReW(jw) - I h(t)coswtdt; Im W(jw) -J h(t)sin wtdt;

0 0 Re W(jw) = Re W(-jw) ; Im W(jw) = - Im W(-jw).

Частотная характеристика системы W(jw) может быть записана и в показательной форме:

W(jw) - |W(jw)| exp(— j9(w)),

|W(jw)| -J Re2(jw) + Im2(jw); 9(w) - arctgIm(jw) 1 1 Re(jw)

где: |W(jw)| — амплитудно-частотная (АЧХ), а ф (w) — фазочастотная (ФЧХ) характеристики системы.

Рассмотрим динамическую систему, описываемую дифференциальным уравнением

any(n)(t)+...+a1y(1)(t) + y(t) - bmx(m)(t)+...+x(t) Подадим на ее вход гармонический сигнал

X(t) - A exp(jwt) - A coswt + j sin wt,

на выходе будет наблюдаться сигнал Y(t) = Ф (jw)Aexp(jwt):

an(jw)n 0(jw)A exp(jwt)+.. .+0(jw)A exp(jwt) - - bm(jw)m A exp(jwt)+...+A exp(jwt) y(k)(t) - (jw)k 0(jw)A exp(jwt) x(k)(t) - (jw)k A exp(jwt),

тогда

an(jw)n0(jw)+...+0(jw) - bm(jw)m +...+1,

bm(jw)m +...+1

an(jw)n +...+1

Ф(jw) — mVJ ' — W(jw).

то есть, частотная характеристика ЛДС численно равна коэффициенту преобразования системы, если на ее вход подается гармонический сигнал:

X(t) = A exp (jwt). Y(t) — W(jw)A exp(jwt) —

{ReW(jw) - j Im W(jw)}(A coswt + j sin wt) —

Re W(jw)A coswt + Im W(jw)A sin wt -

j{ReW(jw)A sin wt - Im W(jw)A coswt}

Рассмотрим два случая :

а) X(t) = A cos wt,

Y(t) = Re W(jw) A Cos wt + Im W(jw) A Sin wt ,

то есть, вещественная частотная характеристика показывает как преобразуется амплитуда входного сигнала в амплитуду выходного, синфазного с ним, а мнимая частотная характеристика показывает то же преобразование, но в амплитуду выходного сигнала, находящегося в квадратуре со входным;

б) X(t) = A Sin wt,

Y(t) = Re W(jw) A Sin wt - j Im W(jw) A Cos wt .

Если на вход подается произвольный гармонический сигнал

X(t) = A Sin (wt + ф),

то на выходе появляется сигнал, описываемый соотношением

Y(t) — A|W(jw)| sin[wt + у - ф(w)] (1.13)

То есть, амплитудно-частотная характеристика показывает, как преобразуется амплитуда входного сигнала в амплитуду выходного, а ФЧХ показывает, какой фазовый сдвиг осуществляется системой на частоте w.

Чтобы получить более ясное представление о частотных характеристиках обычных физических систем, следует рассмотреть

некоторые простые примеры.