Математическое описание непериодических сигналов

сигналы, удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости

да

J |x(t)|dt < да

о

сигналы, не удовлетворяющие этому условию.

да

J |x(t)|dt = да

о

Как видим, интегрирование по времени здесь производится в пределах 0 < t < да .На практике же мы всегда ограничены некоторым конечным временем измерения 0 < t < tu. Но чаще приходится давать описание сигналов на участке времени, значительно превосходящем время измерения tu << T . Сигнал x(t) также может быть представлен в виде ряда Фурье

b

x(t) = —- + ^ (ak sin kwt + bk coskwt)

2 k=1

Такие процессы так же обладают линейчатым спектром (в соответствии с рисунком 10), однако, в этом случае спектр не носит убывающего характера

WB |_2,5%А w

Рисунок 10 - Спектр непериодического сигнала, не

удовлетворяющего условию абсолютной интегрируемости

Модель центрированного сигнала строим точно так же, как и в случае полигармонического процесса

0 N

Xm(t) ? Ak sin(kwt + фk), (1.43)

k=m

однако здесь частота w имеет совершенно другой смысл, так как Т в данном случае не есть период сигнала, а лишь интервал наблюдения. Энергия модели так же принимается равной 95% энергии сигнала. Нижняя и верхняя границы частотного диапазона определяются отсечением 5% энергии, как это показано на рисунке 10.

Am = 0.95A; (1.44)

m ж N

- = ? Ak = 0.025A; - = ? A2U = 0.025A; или - = ? Ak = 0.975A

2 k=1 2 k=m 2 k=1

wh = mw wb = Nw

Обратимся теперь к вопросам математического описания детермированных процессов, удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости

< ж

j |x(t)|dt

Для описания таких сигналов используют прямое и обратное преобразования Фурье, то есть сигналы этого типа обладают не линейчатым, а непрерывным, гладким спектром

ж

x(jw)= j x(t)e— jwtdt (1.45)

—ж 1 ж

x(t)= 2- j x(jw)ejwtdw

—ж

Фурье - образ сигнала x(t) - его спектр или частотная характеристика X(ju).

X(jw)= J x(t)e-jwtdt = J x(t) coswtdt - j J x(t) sin wtdt (1.46)

—да

ReX(jw)= J x(t) coswtdt - вещественная частотная характеристика,

—да

четная функция частоты;

да

ImX(jw)= J x(t) sin wtdt - мнимая частотная характеристика,

—да

нечетная функция частоты.

X(jw)=ReX(jw)-jImX(jw)= ^R2eX(jw) + I2mX(jw) *

jarctg

exp

Im X(jw) ReX(jw)

. ImX(jw) ,

arctg —- - фазо-частотная характеристика;

ReX(jw)

V2 2

R e + I m - амплитудно-частотная характеристика.

Амплитудно-частотная характеристика может быть найдена и без предварительного определения вещественной и мнимой частотных характеристик:

|x(jw)| = д/ |x(jw)|2 = ^ x(jw)x(—jw)

Рисунок 11 - Амплитудно-частотная характеристика детерминированного сигнала с гладким спектром

На рисунке 11 изображена АЧХ сигнала рассматриваемого типа. То значение частоты, при котором АЧХ имеет максимум,

30

называется основной частотой сигнала.

Диапазон частот, в котором амплитудно-частотный спектр имеет значения, близкие к максимальному, называется частотным диапазоном сигнала. Его границы -Wn A w = Wв -Wn - ширина спектра сигнала.

Существует несколько способов определения частотного диапазона. Рассмотрим эти способы.

Основным является энергетический подход к определению частотного диапазона. Вычислим энергию сигнала в предположении, что время изменяется в бесконечных пределах.

A= J x2(t)dt

—ж

Перепишем выражение для энергии

ж ж Л ж

dt =

А= J x(t)x(t)dt = J x(t)j 2- J x(jw)ejwtdw

— ж ж

dw

2П J x(jw)j J x(t)ejwtdt

но выражение в скобках равно X(-jw), тогда

жж

А= Jx2(t)dt = J|x(jw)2dw

—ж

(1.47)

жж

A= J x2(t)dt = 2П J |x(jw)|2dw

—ж

называют равенством Парсеваля.

то есть энергия сигнала зависит только от амплитудно-частотного спектра и не зависит от фазо-частотного спектра. Вклад в энергию дают все частоты. Соотношение

'V X х |"?C>V w /Vх v, >; /ч АД

/\А У х "А 1 х /х/Ч'| л , I.. А-: х X AA'V ¦'V yv >'j "XД/ч} -ч t Л Д Л, / ч / i-j V л. /ч,у-

А, /А А, /ч,Ач-А ;• х.

¦i у

Рисунок 12 - Определение частотного диапазона сигнала по энергетическому критерию

Запишем уравнения для определения границ частотного диапазона

w в ж

J |x(jw)|2dw = 0.95J|x(jw)|2dw (1.48)

w н 0

Отсюда находят верхнюю и нижнюю границы полосы частот. Однако, уравнение одно, а неизвестных два. Поэтому логично воспользоваться следующим подходом:

00

w

(149)

J |x(jw)|2dw = 0.025J|x(jw)|2dw 00

0ж

J |x(jw)|2dw = 0.025J |x(jw)|2dw

0

w в

Оба эти уравнения имеют единственное решение. Далее можно найти ширину полосы частот Aw = w в — w н . Или, при известной основной частоте сигнала, можно предположить, что частотный диапазон симметричен относительно основной частоты

W :

Aw

w

w

2

Aw

(1.50)

w

w0 +

Полученные значения верхней и нижней граничных частот подставляем в равенство Парсеваля:

Aw

w0 +-

(1.51)

J |x(jw)|2dw = 0.95J |x(jw)|2dw

0

w0

Aw

2

При известной основной частоте это - уравнение с одним неизвестным и единственным решением.

Рассмотрим теперь некоторые другие подходы к определению частотного диапазона. Согласно первого из них, называемому метрологическим(в соответствии с рисунком 13), под полосой частот понимают координаты пересечения кривой АЧС с некоторой прямой, проведенной параллельно оси частот.

|*0)|э

|х[»

max А

Рисунок 13 - Метрологический подход к определению частотного диапазона сигнала

2

max

(1.52)

|X(jw)|2 = |X(jw)|2 -A* |X(jw)|

|X(jw)|

2

max

2

max

(1.53)

= 1 -

= 1 - j

|X(jw)|' |X(jw)|

Часто выбирают j=0.05 ,а вообще j назначают, исходя из конкретных технических условий, например, в радиотехнике принято считать j=0.5.

Следующий, и последний подход позволяет определять ширину спектра по формуле:

J |x(jw)|2dw

I max

Aw с = 0 (1.54)

|x(jw)|

нижняя и верхняя границы частотного диапазона определяются в предположении их симметричности относительно w0 :

Aw

Т

Aw

wн = w0 -

w в = w0 +

На практике все сигналы подразделяются на две группы: широкополосные и узкополосные.

Awс << w0

Широкополосные - это такие сигналы, у которых частотный диапазон значительно превышает основную частоту :

Awс >> w0