Механические системы
Здесь величина К - коэффициент жесткости пружины, С - коэффициент торможения, m - масса.
/ У m / Рисунок 4 - Простая механическая система
Прежде чем перейти к нахождению частотной характеристики, необходимо четко определить характер процессов на входе и выходе системы.
Зададим в качестве входного сигнала изменение силы, приложенной к массе, а в качестве выходного — смещение массы (в соответствии с рисунком 5).
Рисунок 5 - Механическая система с вынуждающей силой на входе
Чтобы определить частотную характеристику изучаемой системы, следует вначале вывести уравнение движения.
Согласно одному из основных законов механики сумма всех сил, приложенных к массе, равна нулю, то естьF(t) + Fk(t) + Fc(t) + Fm(t) = 0,
где:
Fk(t) = -KY(t) — упругая сила,
Fc (t) — -CY(t) — сила торможения, Fm(t) — - mY&t) — сила инерции, dY(t)
Y(t) — — — скорость,
dt
^ ускорение.
d2Y(t)
dt'
Следовательно, уравнение движения системы может быть записано в виде
mY&t) + CY(t) + KY(t) — F(t) (1.15)
Выше говорилось, что частотная характеристика системы определяется как преобразование Фурье на 8 -функцию. В данном случае реакция системы — это смещение Y(t), преобразование Фурье которого
1 ад
Y(jw) — — J Y(t)exp(jwt)dt — W(jw), (1.16)
2n J
0
отсюда следует, что
Y(jw) — jwW(jw), Y&jw) — - w2W(jw).
Вычисляя преобразование Фурье от обеих частей, получим [-w m + jw C + K ] W(jw) = 1, 1
W(jw) — - —- (1.17)
K - wm + jwC
Уравнение (1.17) целесообразно переписать в другой форме, принимая обозначения
с
^ —^^ (118)
(119)
2Vkm" "k"
m
wn — у
Величина в формуле (1.18) безразмерна и называется коэффициентом затухания. Величина w в формуле (1.19) называется собственной частотой незатухающих колебаний. С учетом этих обозначений формула (1.17) перепишется в виде
1 K
(1.20)
W(jw) =
w
+ j2?
1
w
V wn J
Записав соотношение (1.20) в показательной форме, можно представить частотную характеристику W(jw) как функцию амплитудной |W(jw)| и фазовой ф (w) частотных характеристик, как это уже описывалось выше :
(1.21)
W(jw) = |W(jw)i exp(-j ф (w)),
где
|W(jw)|
(1.22)
1
1 K
w2
Vwn J 2 + w
_ wn _ 2
w
(1.23)
2
ф(w) = arctg
1 -iw
w