1.1.3 Определение ИПХ по дифференциальному уравнению, связывающему входной и выходной сигналы системы

any(n)(t) + an —iy(n —1)(t)+...+aoy(t) - bmX(m)(t)+...+box(t), n > m

Положим X(t) = 5 (t), Y(t) = h(t): anh(n)(t) + an —ih(n —1}(t)+...+aoh(t) - bm5(m)(t)+...+bo5(t).

Найдем преобразование Фурье от левой и правой частей L : anLф{h(n)(t)}+...+aiLф{h(1)(t)} + aoLф{h(t)} -

- bmLф{5(m)(t)}+...+boLф{5(t)}

Обозначим

ад

L ф{h(t)} - J h(t) exp(—jwt)dt - W(jw)

ад

L ф{h(n)(t)}- (jw)n W(jw);

ад

L ф{5(t)}- J5(t) exp(—jwt)dt - 1; L ф{5(k)(t)} - (jw)k.

ад

an(jw)n W(jw)+...+aoW(jw) - bm(jw)m +...+bo; W(jw){an (jw)n +...+ao} - bm (jw)m +...+bo.

W(jw) - bm (jw) m +.

an(jw)n +...+ao

Соотношение (1.10) определяет частотную характеристику системы, получить которую можно непосредственно из дифференциального уравнения, связывающего входной и выходной

сигналы системы.

Импульсную переходную характеристику можно найти по имеющейся частотной с помощью обратного преобразования Фурье:

i ад

h(t) — — J W(jw) exp(jwt)dw (1.11)

2n J

-ад

Пример 2.

ЛДС описывается дифференциальным уравнением первого порядка

T + Y(t) — X(t),

dt

найти его ИПХ.

Импульсную переходную характеристику найдем по частотной:

ад

W(jw) — ; h(t) — П J W(jw) exp(jwt)dw — exp(-1' T);

1 + jwT 2 J T

-ад

Проверяем:

W(Jw)—T J expf-T1exp(-Jwt—T J J-T- Jw^dt —

-ад -ад

1 1

r[i+w w+1