Математическое описание стационарных случайныхсигналов
f(X,t)=f(X) (1.89)
Не будут зависеть от времени и все начальные и центральные моменты :
dk(t)=dk Ц k(t)= Ц k
и, в частности, дисперсия
Dx(t)= a 2x=Dx
Для АКФ справедливо следующее соотношение:
Rx(t1,t2)=Rx(t2-t1), то есть АКФ зависит не от начала отсчета, а лишь от сдвига между временными сечениями.
Дисперсия характеризует мощность стационарного случайного сигнала, например:
i(t)=X(t), P(t)=i2(t)*R, M[P(t)]=R*M[X2(t)].
То есть, если предположить, что сигнал центрирован, то это выражение представляет его дисперсию (мощность, выделяемую на единичной нагрузке).Рассмотрим свойства АКФ стационарного случайного сигнала.
t2-t1=Т; Rx(t2-t1)=Rx(Т).
По величине АКФ процесса не может превышать его дисперсию;
Rx( ^<=Dx= a2x;
АКФ - четная функция своего аргумента :
Rx( Т)=Rx(- Т);
3)АКФ при нулевом аргументе равна дисперсии сигнала:
Rx(0)=Dx.
Для нормированной корреляционной функции эти свойства трансформируются следующим образом :
р x( Т)<=1;
Р x( Т)= Р x(- Т);
Р x(0)=1.
Общим для АКФ и нормированной АКФ стационарного случайного сигнала является то, что при неограниченном увеличении временного сдвига между сечениями обе они стремятся к нулю :
lim Rx(i) = lim px(i) = 0
х^-да х^-да
При описании свойств стационарного процесса часто указывают такой интервал времени, начиная с которого можно считать р x=0. Это - интервал корреляции, который принято
обозначать Т k. Т k показывает, в каком промежутке времени сечения
сигнала сильно коррелированы (при Т > Т k эти сечения считаются некоррелированными ). Кроме того, интервал корреляции несет информацию о частотных свойствах сигнала, определяет длительность АКФ во времени.
Рассмотрим методы определения Т k.
1) Выбирается малая величина 5 << 1, и на расстоянии от оси времени проводятся две прямые, параллельные этой оси (в соответствии с рисунком 20).
Рисунок 20 - Определение интервала корреляции (метрологический подход)
Тот момент времени, начиная с которого удовлетворяется условие |р х( т )| принимают равной 2 - 5% от 1.
2) На оси времени как на основании строится прямоугольник, высота которого равна единице, а площадь равна площади всей фигуры под кривой нормированной АКФ (в соответствии с рисунком 21).
Рисунок 21 - Определение интервала корреляции (формантный подход)
да
тk= j рх(т)dт (1.90)
0
Этот метод применяется для определения Т k монотонных,
не знакопеременных АКФ.
Для вычисления знакопеременных АКФ принято использовать следующие три подхода:
да
3) т k= j |р х( т )|d т (1.91)
0
да
Т k= jP Х( т )d т (1.92)
0
Ц N
Т k= Ц N _ 1 (193)
где Ц N - момент АКФ, определяемый соотношением
| N = Px( T)dT
N - любое целое положительное число.
Из приведенных методов наиболее часто на практике используется четвертый.Посмотрим, какой из приведенных способов дает наибольшее значение интервала корреляции :
да да
т и= J Px(T)dT <= J|p x( т )|dx = Гк2 00
да да да
тk3= J px(T)dT = J|px(T)||Px(T)|dT<= J|px(T)|dl=T k2 0 0 01 1
<=1.
так как
|p x( т)
Таким образом, т k1<= т k2, т k3<= т k2. Пример.
Пусть имеем стационарный случайный процесс X(t) с нормированной корреляционной функцией
p x( т) = e- dH
53
и определим его интервал корреляции первыми четырьмя способами:
e-d |т| = 5 ; -de =ln5 ; тк= 1 ln 1
' ' к d 5
То есть, чем больше тем круче спадает АКФ, и тем меньше
величина интервала корреляции.
да да
тki= J e- dт d т = 1; тk2= J e- dт d т=f; 0 0 d
да
ткз= 0 e-2dт d т= 0