<<
>>

Математическое описание стационарных случайныхсигналов

Пусть имеем случайный процесс X(t), который является стационарным. При этом его одномерная плотность вероятности будет зависеть только от X и не будет зависеть от времени:

f(X,t)=f(X) (1.89)

Не будут зависеть от времени и все начальные и центральные моменты :

dk(t)=dk Ц k(t)= Ц k

и, в частности, дисперсия

Dx(t)= a 2x=Dx

Для АКФ справедливо следующее соотношение:

Rx(t1,t2)=Rx(t2-t1), то есть АКФ зависит не от начала отсчета, а лишь от сдвига между временными сечениями.

Дисперсия характеризует мощность стационарного случайного сигнала, например:

i(t)=X(t), P(t)=i2(t)*R, M[P(t)]=R*M[X2(t)]. То есть, если предположить, что сигнал центрирован, то это выражение представляет его дисперсию (мощность, выделяемую на единичной нагрузке).

Рассмотрим свойства АКФ стационарного случайного сигнала.

t2-t1=Т; Rx(t2-t1)=Rx(Т).

По величине АКФ процесса не может превышать его дисперсию;

Rx( ^<=Dx= a2x;

АКФ - четная функция своего аргумента :

Rx( Т)=Rx(- Т);

3)АКФ при нулевом аргументе равна дисперсии сигнала:

Rx(0)=Dx.

Для нормированной корреляционной функции эти свойства трансформируются следующим образом :

р x( Т)<=1;

Р x( Т)= Р x(- Т);

Р x(0)=1.

Общим для АКФ и нормированной АКФ стационарного случайного сигнала является то, что при неограниченном увеличении временного сдвига между сечениями обе они стремятся к нулю :

lim Rx(i) = lim px(i) = 0

х^-да х^-да

При описании свойств стационарного процесса часто указывают такой интервал времени, начиная с которого можно считать р x=0. Это - интервал корреляции, который принято

обозначать Т k. Т k показывает, в каком промежутке времени сечения

сигнала сильно коррелированы (при Т > Т k эти сечения считаются некоррелированными ). Кроме того, интервал корреляции несет информацию о частотных свойствах сигнала, определяет длительность АКФ во времени.

Рассмотрим методы определения Т k.

1) Выбирается малая величина 5 << 1, и на расстоянии от оси времени проводятся две прямые, параллельные этой оси (в соответствии с рисунком 20).

Рисунок 20 - Определение интервала корреляции (метрологический подход)

Тот момент времени, начиная с которого удовлетворяется условие |р х( т )| принимают равной 2 - 5% от 1.

2) На оси времени как на основании строится прямоугольник, высота которого равна единице, а площадь равна площади всей фигуры под кривой нормированной АКФ (в соответствии с рисунком 21).

Рисунок 21 - Определение интервала корреляции (формантный подход)

да

тk= j рх(т)dт (1.90)

0

Этот метод применяется для определения Т k монотонных,

не знакопеременных АКФ.

Для вычисления знакопеременных АКФ принято использовать следующие три подхода:

да

3) т k= j |р х( т )|d т (1.91)

0

да

Т k= jP Х( т )d т (1.92)

0

Ц N

Т k= Ц N _ 1 (193)

где Ц N - момент АКФ, определяемый соотношением

| N = Px( T)dT

N - любое целое положительное число. Из приведенных методов наиболее часто на практике используется четвертый.

Посмотрим, какой из приведенных способов дает наибольшее значение интервала корреляции :

да да

т и= J Px(T)dT <= J|p x( т )|dx = Гк2 00

да да да

тk3= J px(T)dT = J|px(T)||Px(T)|dT<= J|px(T)|dl=T k2 0 0 01 1

<=1.

так как

|p x( т)

Таким образом, т k1<= т k2, т k3<= т k2. Пример.

Пусть имеем стационарный случайный процесс X(t) с нормированной корреляционной функцией

p x( т) = e- dH

53

и определим его интервал корреляции первыми четырьмя способами:

e-d |т| = 5 ; -de =ln5 ; тк= 1 ln 1

' ' к d 5

То есть, чем больше тем круче спадает АКФ, и тем меньше

величина интервала корреляции.

да да

тki= J e- dт d т = 1; тk2= J e- dт d т=f; 0 0 d

да

ткз= 0 e-2dт d т= 0

<< | >>
Источник: Ю.Н. Пивоваров, А.Г. Реннер, В.Н. Тарасов. МЕТОДЫ ОПЕРАТИВНОЙ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ. Учебное пособие часть 1. 1998

Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House

Воспользуйтесь формой поиска

Математическое описание стационарных случайныхсигналов

релевантные научные источники: