Математическое описание системы двух случайных сигналов

Act

Рисунок 18 - Возможные изменения нормированной АКФ в зависимости от интервала времени между реализациями

Если совместная плотность распределения всех сечений этих сигналов не изменяется при прибавлении ко всем временным аргументам одной и той же величины, то эти сигналы называются стационарными и стационарно - связанными.

Рассмотрим приближенное описание свойств системы двух сигналов. Для этого будем использовать моментные характеристики.

Для каждого из сигналов указывают его математическое ожидание и АКФ :

mx(t), my(t); Rx(tbt2), Ry(tbt2).

Кроме этих характеристик вводится еще одна: взаимная корреляционная функция Rxy(t1,t2) (ВКФ).

(1.84)

Ryx(t1,t2) = M[Y (^)X (t2)].

Взаимной корреляционной функцией между двумя сигналами {X(t)} и {E(t)} называется такая функция времени, которая при фиксированных значениях временных аргументов равна математическому ожиданию произведения соответствующих сечений этих сигналов:

Иногда вместо этой функции используют нормированную

ВКФ :

о о

р (t t ) R yx(t1' t2) M[Y(t1)X(t2)] (1 85)

рyx(t1' t2) = тл 7TT = 7T 7TT" (185)

y (t1 x(t2) y (t1 x(t2)

Как видно из формулы (1.85) , рyx - это коэффициент корреляции между сечениями Y(t1) и X(t2). Рассмотрим свойства этих функций:

Ryx(t1,t2)=Rxy(t2,t1), так как

0 0 0 0 Ryx(t1,t2) = M[Y(t1)X(t2)] = M[X(t2) Y(t1)] = Rxy(t2't1) (1.86)

Взаимная корреляционная функция несимметрична относительно своих аргументов.

Mt^h р xy(t2,t1);

Ryx(t1,t2)<= СТ y(t1) a x(t2);

р yx(t1,t2)<=1 (1.87)

при одинаковых значениях временных аргументов:

Ryx(t't) = M[Y(t)X(t)] = Dyx(t). - (1.88)

взаимная дисперсия.

Ryx(t1,t2) описывает степень линейной статистической взаимосвязи между временными сечениями различных сигналов. Пусть t2-t1= т - интервал времени между сечениями.

49

Рисунок 19 - Графики зависимостей АКФ и ВКФ от интервала времени между сечениями

АКФ симметрична, и для ее описания можно изучать только одну ветвь, а в случае ВКФ необходимо исследовать обе ветви.

Нормированная ВКФ достигает своего максимума при Т0, то есть два сигнала наиболее линейно связаны при этом сдвиге между их временными сечениями.

Если р yx( Т)=1, то сигналы X(t) и Y(t) связаны линейной функциональной зависимостью при Т= Т0. Все понятия можно обобщить на случай системы произвольного числа сигналов {X (t)},

i=1,N.

Для этого достаточно установить mxi(t) - математические ожидания всех сигналов;

Rxi(t1,t2) - АКФ всех сигналов;

Ryi,xJ(t1,t2) - ВКФ между всеми парами сигналов.