Математическое описание систем случайных сигналов в частотной области

Для описания свойств системы сигналов в частотной области используется взаимная спектральная плотность мощности (ВСП), которая определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции:

Syx(w) = 2П JRyx(т) exp(—jwT)dT (1.170)

—ж

Рассмотрим свойства ВСП:

жж

Syx(w) = 2П J Ryx(т) C0s(wт^т — j2- J Ryx(т)sin(wт)dт (1.171)

—ж

—ж

Взаимная спектральная плотность является комплексной функцией своего аргумента, ее мнимая часть не равна нулю.

ReSyx(w) = -2- J R yx(т) cos(wт)dт — вещественная часть ВСП,

— ж ж

ImSyx(w) = 2- J R^^Sn^^т — мнимая часть ВСП .

Вещественная часть ВСП является четной, а мнимая - нечетной функцией частоты .

Syx(w) = ReSyx(w) - jlmSyx(w) =|Syx(w)|exp(-j9(w))|

84

где

!Syx(w)!^Re2Syx(w)+ I m2Syx(w) - амплитудно-частотный спектр сигнала, четная функция частоты,

9(w) = arctg(ImSyx(w/ReS x(w)) - фазо-частотный спектр.

В формуле (1.170) вместо w подставим -w:

Syx(-w) = 2П JRyx(т) exp(jwT)dT.

—ж

В правой части переменную интегрирования заменим на - т :

ж

Syx( — w) = 2П J Ryx(-r)exp( — jwт)dт , но Ryx(- т )=Rxy( т),

тогда

Syx(-w) = 2П JRxy(т) exp(-jwт)dт = Sxy(w)

—ж

Таким образом,

Syx (- w) = Sxy(w) (1.172)

Взаимная спектральная плотность удовлетворяет свойству

ж

Ryx( т) = JSyx(w)exp(jwт)dw (1.173)

То есть, взаимная корреляционная функция и ВСП связаны между собой парой преобразований Фурье.

1' 1

i 1 Г->

' 1 ч ¦«о

Рисунок 32 - К определению ширины взаимного спектра

Та частота, на которой модуль ВСП достигает максимума, называется основной частотой взаимного спектра.

Весь взаимный спектр располагается вблизи этой частоты. Тот диапазон частот, в котором модуль взаимной спектральной плотности мало отличается от своего наибольшего значения, носит название частотного диапазона взаимного спектра .

Ширина его равна ширине взаимного спектра:

Aw = wB — wH (1.174)