Признак сходимости Дирихле.

Если периодическая функция f(x) с периодом 2 удовлетворяет на любом отрезке из R условиям Дирихле, то ряд Фурье для функции f(x) сходится для всех хR.

Если f(x) удовлетворяет условиям Дирихле, то она определяет на промежутке

[-,] криволинейную трапецию конечной площади и является ограниченной функцией. Интегралы от произведения ограниченной функции на sin nx , cos nx т.е. a_{n ,} b_{n ,} быстро убывают с ростом n вне зависимости от вида f(x). Действительно, разобьем [-,] на участки с шагом Dх = 2p/n и будем отдельно интегрировать в пределах каждого участка. Тогда при больших n и малых Dх функция f(x) » const и

» A = A/n sin nx = - A/n sin nx sin p = 0

Стремительное убывание a_{n ,} b_n с ростом n обеспечивает сходимость мажорирующего ряда и, следовательно, равномерную сходимость тригонометрического ряда(19)

Пр.

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Находим коэффициенты Фурье = 0; Т.о. для хR , кроме точек разрыва

f(x) = 2( sin x – sin 2x /2 + sin 3x /3 – sin 4x /4 + . . . + (-1)ⁿ⁺¹/n sin nx + . . . )

В точках разрыва x = (2n-1) сумма ряда [- (2n-1) + (2n-1) ]/2 = 0

Пр. Периодическая функция с периодом 2 определена как f(x) = 0 при и f(x) = 1 при . Разложить ее в ряд Фурье.

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле.

= (1 – (-1)ⁿ) = {

Т.о. для всех хR , кроме точек разрыва f(x) = ½ + 1/ [2/(2m -1)] sin(2m-1) x

В точках разрыва х = 0, n сумма ряда равна (0 + 1)/2 = ½ .