34.Признаки сравнения и Даламбера сходимости знакоположительных рядов. Примеры.
1) I - й признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами: 
(1) и 
(2), причем члены 1-го ряда не превосходят членов 2-горяда, т.е.
. Тогда а) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1), б) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
Пример. Исследовать сходимость ряда: 
. Решение. Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом: 
(его знаменатель 
). Т.к. члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов сходящегося геометрического ряда 
и вообще 
, то на основании признака сравнения ряд 
сходится.
Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:
а) геометрический ряд 
- сходится при 
, расходится при 
,
б) гармонический ряд 
- расходится,
в) обобщенный гармонический ряд 
сходится при 
, расходится при 
.
2) II - й признак сравнения. Если 
и 
- ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов 
, то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.
Пример. Исследовать сходимость ряда 
. Решение. Сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом 
. Т.к. 
, то данный ряд расходится, так же как и гармонический.
3) Признак Даламбера. Пусть для ряда 
с положительными членами существует предел отношения 
члена к -му члену : 
. Тогда, если 
, то ряд сходится, если 
, то ряд расходится, если 
, то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример. Исследовать сходимость ряда 
. Решение. Так как 
, то применяя признак Даламбера, имеем 
. Следовательно, ряд сходится.
Пример. Исследовать сходимость гармонического ряда 
с помощью признака Даламбера. Решение. 
(вопрос открыт).
4) Интегральный признак сходимости. Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т.е. 
, а функция 
, определенная при 
, непрерывная и не возрастающая и
. Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл 
.
Пример. Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда 
. Решение. Пусть 
. Функция 
при 
(и конечно при 
) положительная и невозрастающая (точнее убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственного интеграла 
. а) если 
, то 
. б) если 
, то 
Итак, ряд сходится при 
и расходится при 
.
Еще по теме 34.Признаки сравнения и Даламбера сходимости знакоположительных рядов. Примеры.:
- 9.Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами: сравнения, Коши, Даламбера, Рабе, интегральный признак Коши.
- №26. Основные признаки сходимости знакоположительных рядов.
- №37. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Геометрический ряд.
- №21. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолют. и условная сходимость рядов.
- 31,32.Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры.
- 35,36 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
- Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.
- Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.
- Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
- №44. Сходимость и сумма числового ряда. Необходимый признак сходимости. Критерий сходимости Коши (необходимое и достаточное условие сходимости ряда).
- №50. Функциональные ряды, область сходимости функциональных рядов. Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса.
- Признак Даламбера.
- Абсолютная и условная сходимость рядов.
- Необходимый признак сходимости
- Определение радиуса сходимости и исследование сходимости ряда на границе круга сходимости.