Расчет напряженно-деформированного состояния глаза по трехмерной теории упругости

Принято считать, что теория тонких оболочек дает хорошие результаты при отношении h/R < 0.05. Для оболочки глаза h/R ~ 0.08 — 0.09. В связи с этим представляет интерес расчет напряженно-деформированного состояния оболочки глаза по общим уравнениям трехмерной теории упругости.

Внешняя нагрузка на глаз, как и ранее (1.1), определяется поверхностным давлением со стороны циркляжной ленты симметрично относительно середины ленты, расположенной по экватору.

В работе [34] рассматривается напряженно-деформированное состояние симметрично нагруженного сферического слоя, при этом решение общих трехмерных уравнений теории упругости ищется в форме, предложенной П.Ф. Папковичем:

Таким образом, если нагрузка известна, то, определяя по соотношениям (5.2) деформации, далее по ним напряжения и приравнивая их на внутренней и внешней поверхностях соотношениям (5.4), можно определить константы Ап,Вп, Сп, Dn■ Однако, как уже отмечалось, давление q{9) и изменение внутреннего давления в свою очередь зависят от прогиба оболочки R\w{r, Ѳ).

Остаются справедливы формулы (1.8), связывающие натяжение ленты N, ее удлинение 81, среднее по ширине ленты ее давление qcp на глаз и средний безразмерный прогиб u>cp(ri) оболочки глаза под лентой:

t НЕ БОЛЕЕ ІИ КНИГИ В { ОДНИ РУКИ И 2X8 ДВЕ

также представляется через константы Ап, Вп,Сп, Dn, которые могут быть теперь определены из разложения (5.4).

Результаты расчетов по данным формулам при До = 11.5 мм, Ді = 12.5 мм приведены в табл. 9. В скобках для сравнения представлены результаты расчета по теории оболочек (из табл. 7).

Сравнение результатов, получаемых по асимптотическим формулам, по численному решению уравнений теории оболочек и уравнений трехмерной теории упругости, показывает, что для узкой ленты (ширина Н = 2.5 мм) результаты очень близки (расхождение не превосходит 4% )

Т а б л и ц а 9

Для широкой ленты (Н = 9мм) разница в результатах доходит до 18 %. Причем вал вдавлення, получаемый из общих уравнений теории упругости, на 15—18 % больше значений, найденных по теории оболочек, а изменение ПЗО и изменение внутриглазного давления, вычисленные по уравнениям трехмерной теории, несколько меньше, чем те же величины по уравнениям теории оболочек.

Зная прогибы оболочки как функции г я Ѳ, можно получить деформации и далее по ним напряжения, возникающие в оболочке [34]:

(5.8)

На рис.7 представлены напряжения, полученные по соотношениям (5.8), на внутренней, срединной и внешней поверхностях сферы для ленты Н = 9 мм при АІ — 12 мм.

Нормальные напряжения на внутренней поверхности сферы, как следует из формулы (5.4), постоянны и определяются внутриглазным давлением (см. табл. 9). На внешней поверхности нормальные напряжения равны давлению ленты. Напряжения сдвига равны нулю на внутренней и внешней поверхностях. На срединной поверхности напряжения сгго в силу симметрии равны нулю при Ѳ — О и Ѳ = 7г/2. Максимального значения напряжения сдвига, как и следовало ожидать, достигают на крае ленты (ширине Я = 9 мм соответствует значение Ѳ = 0.36 рад, Я = 2.5 мм — значение Ѳ = 0.10 рад).

В табл. 10 также приведены некоторые нормальные напряжения оу и напряжения сдвига агд, полученные по соотношениям (5.8). В скобках размещены результаты, определенные по соотношениям

(1.19) , (1.25).

Видно, что соотношение (1.25) достаточно хорошо описывает максимальное напряжение сдвига для узкой ленты (Я = 2.5 мм). Для широкой ленты соотношение (1.25) дает существенно большее значение, чем расчеты по трехмерной теории.

В табл. 11 представлены некоторые значения напряжений сгд и