Двухосные напряженные состояния

Применимость энергетического методами є ограничи­вается расчетами деформации элементов конструкции, находя­щихся в одноосном напряженном состоянии. Энергетический ме­тод можно использовать и при расчете плит или других объек­

тов, находящихся в'двухосном напряженном состоянии *>.

Здесь X и У — половины соответствующих пролетов плиты по двум направлениям. Начало координат выбрано в центре плиты.

Кинетическая энергия, сообщенная плите

Потенциальная энергия деформации определяется более сложно в соответствии с общей -формулой из курса сопротивле­ния материалов. Удельная потенциальная энергия деформации на единицу объема и при изгибе и растяжении в зависимости от значений напряжений и относительных деформаций σ и ε запи­сывается в виде

Индексы XX и уу относятся к нормальным напряжениям и де­формациям, а индекс ху— к касательным. Так как для упруго деформируемой плиты нормальные напряжения равны Ee_t а ка­сательные напряжения равны [Е/2 (1 + ν] &_ху, то, выполняя ин­тегрирование в (4.55), получаем для случая упругой дефор­мации

здесь E — модуль Юнга, ν — коэффициент Пуассона.

⁰ Напряженное состояние, в котором только одно из главнкх напряже­ний не равно нулю, а два других равны нулю, называется одноосным или ли­нейным. Если два главных напряжения отличны от нуля, то такое напряжен­ное состояние называется двухосным или плоским. — Прим. ред.

Для плиты, деформируемой по схеме жесткопластического тела, нормальное напряжение имеет постоянное значение и касательное напряжение, согласно теории пластичности Мизеса, постоянно и равноПосле подстановки этих значений

в выражение (4.55) и интегрирования удельная потенциальная энергия при жесткопластической деформации оказывается рав­ной

Так как расчетные значения пластической деформации плит будут использованы в дальнейшем при сопоставлении с резуль­татами испытаний, продолжим рассмотрение пластически де­формируемой системы. Чтобы получить потенциальную энергию деформации при изгибе, необходимо подставить в формулу (4.57) соотношения для относительных деформаций

и, используя выражение (4.52) для и>, выполнить тройное интег­рирование по толщине плиты и вдоль осей X и у.

Потенциальная энергия деформации при растяжении полу­чается после подстановки выражений

в уравнение (4.57), выполнения указанных операций дифферен­цирования в уравнении (4.52) и тройного интегрирования.

Не приводя громоздких алгебраических преобразований, за­пишем лишь результат приравнивания потенциальной энергии деформации U к кинетической энергии К.·.

определяющий связь импульса нагрузки и максимального зна­чения прогиба при изгибе плиты.

Правая часть равенства (4.60) включает четыре слагаемых. Первое и второе слагаемые связаны соответственно с нормаль­ными и касательными напряжениями при изгибе, третье и чет­вертое— соответственно с нормальными и касательными напря­жениями при растяжении. Таким образом, можно определить ■относительный вклад всех рассмотренных видов потенциальной энергии деформации в полную потенциальную энергию системы.

Расчеты по формуле (4.60) можно сопоставить с результа­тами испытаний прямоугольных плит с отношением ширины к высоте У/Х = 1,695, опубликованными Джонсом и др. [156]. Пластины, выполненные из мягкой горячекатаной стали и алю­миния марки 6061-Т6, деформировались пластически под дей­ствием ударноволновой нагрузки от взрыва плоских зарядов BB. Подставив указанное значение Υ/Χ в уравнение (4.60), получим безразмерную комбинациюв виде функции от

результат, который можно непосредственно сопоставить с экспе­риментальными данными (рис. 4.24):

Из рис. 4.24 видно, что кривая, заданная соотношением (4.61), хорошо описывает экспериментальные результаты. Несоответ­ствие, наблюдаемое при малых значениях w^/h, вероятно, свя­зано с тем, что при незначительных деформациях пластически деформируется только часть пластины.

До сих пор сопоставление результатов расчетов и экспери­ментальных испытаний проводилось для конструкций, подвер­гаемых ударноволновому нагружению в режиме импульсного приложения нагрузки. Чтобы бпределить остаточную деформа­цию защемленной по контуру прямоугольной плиты, нагружен­ной в режиме квазистатического приложения нагрузки, в каче­стве формы колебаний можно принять уравнение (4.52). При­равняв соответствующие пластической деформации выражения для U и W, окончательно получим

Для сопоставления с уравнением (4.62) возьмем данные ис­пытаний Хука и Ролинга [282] прямоугольных плит различной толщины и отношения Х/У, выполненных из мягкой стали.

Рис. 4.24. Сравнение расчетных и экспериментальных значений прогибов прямоугольных плит в режиме импульсного прило­жения нагрузки при

Рис. 4.25. Остаточные прогибы прямоугольных плит в режиме квазистатического нагружения при

W₀Ih

угольных плит с Χ/Υ = 0,5. В испытаниях прямоугольная плита монтировалась в виде стенки специально изготовленной камеры. Нагрузка большой длительности создавалась после повышения давления в камере открытием соленоидного клапана. Вслед­ствие того что нагрузка характеризуется плавным нарастанием давления, обусловленным конечным временем открытия кла­пана, коэффициент динамичности нагрузки равен 1, а не 2. По этой причине величина максимального относительного прогиба, определяемого уравнением (4.62), уменьшена вдвое н после под­становки значения Χ/Υ найдена из соотношения

изображенного на рис. 4.25. Соответствие результатов вполне удовлетворительное. Для квадратных плит достигается такое же соответствие, однако они здесь не анализируются.

Можно привести и другие примеры хорошего соответствия результатов расчетов и экспериментальных испытаний для ба­лок и плит. Ограничимся четырьмя разобранными примерами, поскольку они содержат всю необходимую информацию. Сопо­ставление расчетов и экспериментальных данных проведено для элементов конструкций, нагруженных в режиме импульсного и квазистатического приложений нагрузки, при упругой и пласти­ческой деформациях для относительных деформаций и прогибов при двухосном (плита) и одноосном (балка) напряженных со­стояниях. Результаты сопоставления показывают, что энергети­ческий метод вполне пригоден для инженерных расчетов; он позволяет без больших затрат труда рассчитывать конструкции на действие взрывной нагрузки.