Упругая деформация консольной балки
В качестве первого примера рассчитаем максимальный прогиб Wo и относительную деформацию E при упругом изгибе консольной балки под действием импульсной динамической нагрузки. Балка рассматривается в системе координат
Рис.
4.21. Схематичное изображение упруго деформируемой консольной балки для расчета энергетическим методом; b — ширина сечения балки, h — высота сечения.с началом отсчета (х = 0) в заделке (рис. 4.21). На 1-м этапе примем, что форма колебаний (прогиб w) имеет вид 
Выбор подходящей формы колебаний служит основным моментом в рассматриваемой задаче. Для упругой консоли допустимая форма деформированной оси должна удовлетворять условиям нулевого прогиба и угла поворота в заделке, а также максимального прогиба и нулевой второй производной (отсутствию момента сил) на свободном конце. Выражение (4.27) удовлетворяет всем перечисленным граничным условиям. Можно задаться и другими формами колебаний. Влияние выбора той или иной формы на конечный результат проанализировано после разбора двух иллюстративных примеров.
Следующий, 2-й этап вычислений предусматривает двойное дифференцирование кривой прогиба и получение кривизны изогнутой оси балки:
Предполагая, что деформации малы (упругий изгиб Бернулли— Эйлера), для потенциальной энергии деформации исполь-
где с —расстояние от нейтрального слоя до внешнего волокна балки. Подставив в это выражение формулу (4.28), имеем
Рис.
4.22. Упругая деформация консольных двутавровых балок марки 6061-Тб в режиме импульсного нагружения при L/h = 240 [451. Прямая линия соответствует формуле (4.37)Максимальная относительная деформация достигается в заделке • консоли. После подстановки выражения (4.34) для W0 в уравнение (4.36) (9-й этап) максимальную относительную деформацию Em запишем в виде
Полученное соотношение для относительных деформаций справедливо в режиме импульсного приложения нагрузки. Из решения следует физически правильный и интересный результат, характерный для режима импульсного приложения нагрузки: относительная деформация не зависит от пролета балки. Это связано с тем, что увеличение пролета балки, например, вдвое хотя и приводит к удвоению кинетической I. энергии, сообщаемой системе, но, с другой стороны, удваивает и массу материала балки, способного накапливать потенциальную энергию деформации. По этой причине в конечном результате величина пролета балки сокращается. Таким образом, прогибы в рассматриваемом режиме приложения нагрузки зависят от пролета балки, а максимальная относительная деформация не зависит.
Чтобы продемонстрировать достоверность полученного решения, сопоставим результаты расчета по формуле (4.37) с экспериментальными данными Бейкера и др. [45]. При испытаниях исследовалась деформация алюминиевых консольных балок марки 6061-Т6 под действием взрывов BB, производимых в непосредственной близости от балок. На рис. 4.22 показана зависимость максимальной относительной деформации от величины
при изгибе' балок длиной 305 мм и толщиной 1,3 мм. Поскольку дифракция воздушной ударной волны на балке обусловливает некоторую неопределенность при расчете импульса нагрузки, то результаты испытаний представлены в виде горизонтальных отрезков, отвечающих диапазону возможных значений импульса.
Хотя в литературе отсутствуют экспериментальные данные для проверки правильности решения, получаемого при анализе упругой деформации консольных балок в режиме квазистатиче- ского приложения нагрузки, тем не менее такое решение целесообразно получить. Максимально возможная работа нагрузки с давлением Pr (6-й этап), совершаемая над балкой, равна
или
Приравнивая выражения (4.39) и (4.30) для W и потенциальной энергии деформации U (8-й этап) и преобразуя полученные результаты, получим формулу для максимального прогиба в режиме квазистатического приложения нагрузки
Подставляя формулу (4.40) в выражение (4.36) и полагая 
найдем максимальную относительную деформа
цию в режиме квазистатического приложения нагрузки
Этот пример показывает, как легко на основе предполагаемой формы колебаний и уравнений энергетического баланса получаются практически интересные результаты. Описанный подход весьма полезен инженерам-конструкторам, так как показывает, каким образом увеличение или уменьшение заданного параметра изменяет значения прогибов и относительных деформаций. Кроме того, его использование, как будет показано далее, не ограничивается исследованием только упругих систем.
4.5.2. Пластические деформации в балках
В качестве второго примера рассмотрим пластическую деформацию шарнирно опертых балок н однопролетных балок с двумя защемленными концами под действием импульс- нон динамической нагрузки. Здесь будет получено соотношение для максимального прогиба шарнирно опертой балки, деформируемой по схеме жесткопластического тела, и показано, чего следует ожидать при пластической деформации балок с двумя защемленными концами.
Кроме того, полученные решения сопоставляются с результатами испытаний балок, выполненных из различных материалов и удовлетворяющих различным граничным условиям (в соответствии с типом заделки).Пусть форма колебаний (кривая прогиба) шарнирно опертой балки пролетом L имеет вид параболы
причем начало координат (% = 0) помещено в середине пролета. При заданной форме колебаний в середине пролета достигается максимальное значение прогиба и угол поворота равен нулю, причем в опорных сечениях прогиб отсутствует, а угол поворота максимален. Постоянство второй производнои свидетельствует о том, что для принятой формы деформированной оси балки кривизна постоянна. Потенциальная энергия деформации, накопленная жесткопластической системой, определяется интегралом по всейдлине балки от произведения момента на угол поворота
Поскольку система симметрична, по
тенциальная энергия деформации равна удвоенному интегралу по половине пролета балки
Подставляя в эту формулу выражение (4.42) для ш, получаем
В режиме импульсного приложения нагрузки кинетическая энергия
откуда имеем
Приравнивая выражения (4.46) и (4.44) для К и потенциальной энергии деформации U, получим
Если принять, что балка имеет прямоугольное поперечное сечение с шириной b и толщиной h, то после подстановки выраже- t ний My = (1 /4) Gybh2 (Оу — предел текучести) и
— пло
щадь поперечного сечения) в формулу (4.47) получим уравнение, связывающее импульс и максимальный прогиб для шарнирно опертой балки:
Приведем также без вывода аналогичное соотношение для балки с двумя защемленными концами, деформируемой в режиме импульсного приложения нагрузки:
Отметим, что решения для шарнирно опертой балки и балки с двумя защемленными концами отличаются только числовым множителем: для первой он равен 4, для второй 8.
Все параметры L, р, Gy, h, W0 и і в том и другом случае связаны одинаковым соотношением. При увеличении или уменьшении, например, вдвое одного из указанных параметров максимальный прогиб у обеих балок изменяется на одинаковую относительную величину. Следовательно, оба решения представимы одним уравнением с некоторым паоаметоом /V:
Для шарнирно опертой балки N= 1, а для балки с двумя защемленными концами N = 2. Если бы рассматривались балки с другими способами фиксации концов, например балки с одним шарнирно опертым и другим защемленным концом, или консоли, деформируемые по схеме жесткопластического тела в режиме импульсного приложения нагрузки, то максимальные прогибы таких балок также описывались бы уравнением (4.50) с соответствующими значениями параметра N. Воспользуемся этим позже, когда будем рассматривать безразмерные P — /-диаграммы для конструктивных элементов с множеством различных граничных условий.
На рис. 4.23 представлены экспериментальные данные, полученные Флоренсе и Фиртом [217] для балок с двумя защемленными концами и шарнирно опертых балок с отношением половины пролета к толщине профиля l/h = 2>b. Поскольку авторы
Рис. 4.23. Изгиб балки в режиме импульсного нагружения
(сплошная линия соответствует (4.51)). Экспериментальные
данные [217] для балок:
[217] используют величину «половина пролета» I, а не полный пролет L, то для удобства сопоставления результатов уравнение (4.50) следует переписать в виде
в
Все балки, как шарнирно опертые, так и защемленные, изготовленные из алюминия марок 2024-Т4, 6061-Тб и из холоднокатанії или отожженной стали марки 1018, испытывались на действие воздушной волны, вызываемой взрывом плоского заряда BB в режиме импульсного приложения нагрузки.
Поскольку в опорных сечениях балки с двумя защемленными концами допускается удлинение (укорочение) волокон, но запрещен поворот оси, то в таких балках при действии взрывной нагрузки * развиваются незначительные касательные напряжения. На рис. 4.23 сопоставлены расчеты по формуле (4.51) с результатами испытаний шести различных балок. Хорошее соответствие результатов свидетельствует о применимости описанной приближенной методики анализа жесткопластической системы. Здесь не приводится решение для жесткопластической деформации балок в режиме квазистатического приложения нагрузки, которое можно получить, приравнивая максимально возможную работу к потенциальной энергии деформации. Основная особенность разобранных примеров заключается в необходимости выбора соответствующей формы колебаний. Естественно возникает вопрос: какое влияние на результаты оказывает вид формы колебаний?4.5.3.