23. Принцип максимум реш-я ур-я теплопроводности.

Р-м произв.обл-ть D, ограниченную замкн.пов-тью S, и пр-к времени tÎ[0,T], где Т выбрано произвольно. Б. считать, что ось t ещё одна из координат нашей с-мы. Тогда объём V

Очевидно V явл.

Р-м однородное ур-е теплопроводности u_t=Du (1) и сформулируем т-му:

Принцип максимума: Всякое реш-е ур-я (1) непрерывное в области D принимает максимальное (минимальное) зн-е либо на нижней границе области V (НУ t=0), либо на боковой пов-ти (ГУ).

Док-во: Очевидно, если u(M,t)=const, док-во не требуется. Б.считать, что имеет место максимум. В случае минимума д/док-ва н.сделать замену: u(M,t) = –u(M,t) и аналогично доказать. Введём обозначения: u_В – наибольшее зн-е во всём объёме V, включая границу, u_Г – макс.зн-е на границе объёма V. Очевидно по усл-ю u_В ? u_Г. Предположим, что имеет место строгое нер-во u_В > u_Г. Введём в рассмотрение ф-цию v(M,t)=u(M,t)+ a(T-t), a – нек. «+» вел-на.

По опр-ю ф-ция v явл. непрерывной в объёме V. Сл-но, в нек.т-е этого объёма (M₁,t₁) имеется максимум. Покажем, что т-а максимума Ï границе объёма V. На нижней границе t=0.

Т-а максимума Ï нижней границе. Аналогично на бок.

? т-а максимума явл. внутр.т-й области V.

Сл-но, в этой т-е м.р-ть операции дифференцирования и в ней д.выполняться ур-е теплопроводности:

Оператор Лапласа выпуклость/вогнутость. В экстремуме оп-р Лапласа u_Г, неверное. u_В = u_Г #