21. Ур-е теплопроводности (вывод).

Макроподход (перенос тепла от м-ле к м-ле). Вывод ур-я теплопр-ти основан на з-не сохран-я энергии и з-не Фурье q = –lgrad T (1), q – плотность теплового потока, l – коэф-т теплопроводности среды, одна из тепловых х-к в-ва.

Р-м произв.тело. Выделим в нём конечный объём V, ограниченный замкнутой пов-тью S, ч/з которую осущ. тепловое взаимод-е с окр.средой/остальной частью тела. Измен-е тепла внутри V осуществляется в результате: 1) механизма молек. теплопроводности; 2)выделения/поглощения тепла за счёт действия внутр. источников (хим.р-ция, протекание эл.тока). Q=Q₁+Q₂ (2). Измен-е тем-ры связано с измен-ем внутр. энергии в-ва. На основании 1го з-на термодинамики: Q=CdT (3). С – интегральная т-ё-ть выдел.объёма в целом.

Выделим эл.уч-к пов-ти ds и р-м ед.в-р внешней нормали. Тогда кол-во тепла, протекающее ч/з ds за счёт механизмов молек. теплопроводности за время dt

Чтобы найти полное изменение тепла ч/з всю пов-ть S, н. проинтегрировать эту вел-ну по всей пов-ти.

q_n – проекция на внешнюю нормаль.

Изменение тепла за счёт внутр.тепловых источников удобно характеризовать, введя в рассмотрение ф-цию плотности тепловых источников F(x,y,z,t)=F(M,t). Т.е. если за время dt в рез-те действия внутр.источников тепла, выделяется тепло dQ₂=F(M,t)dVdt, то полное выделение тепла

Согласно 1му з-ну термодинамики, это изменение внутр.энергии в-ва. За время dt измен-е T в т-е М б.=

T(x,y,z,t+dt) – T(x,y,z,t)= {¶T/¶t}dt

Чтобы это измен-е Т произошло в эл.объёме dV массой rdV, н.этому объёму сообщить кол-во тепла, равное

с – удельная т-ё-ть.

[c]=Дж/(кг*К), [r]=кг/м³. Подставляя в (2), получим:

[] дб =0, т.к. выделенный объём не мб =0.

– ДУ теплопроводности или ур-е Фурье. Явл. ур-ем параболического типа.

Ур-е (5) выведено при след. допущениях: 1) не учитывается д-ция объёма V, связанная с изменением тем-ры; 2) предполагаем, что макроскопические ч-цы объёма V неподвижны от-но друг друга (не учитывается конвективный перенос тепла). В случае однородной изотропной среды х-ки l,c,r явл. постоянными вел-нами, и (5) приобретает более простой вид:

(6) составляет аналит. основу класс.теории теплопроводности. а – коэф-т температуропроводности [a]=м/с². a=l/(cr). а х-т теплоинерционные св-ва м-лы и явл. мерой скорости выравнивания температурного поля. DT – оператор Лапласа от Т х-т измен-е теплового потока и в геом. смысле явл. мерой изменения кривизны эндотермической пов-ти.

Д/определ-я температурного поля н.знать начальное распр-е тем-ры внутри тела (НУ), геометрию и размер тела, а также з-н теплового взаимод-я пов-ти тела с окр.средой (ГУ). Одной из наиболее распр.краевых задач д/ур-я теплопроводности явл.задача Коши, когда н.найти непрерывное ограниченное во всей обл-ти реш-е ур-я (6) с одним НУ T(M,0)=j(M). При реш-ии всех краевых задач н.задать ГУ:

ГУ 1го рода означают задание Т на границе тела, как известную ф-цию времени;

ГУ 2го рода означают задание на границе тепл.потока.

В одномерном случае б.выглядеть T_x(l,t)= –q(t)/l. q(t) – тепловой поток, кот.падает на границе x=l; м.иметь разный знак.

ГУ 3го рода носят название теплообмен по з-ну Ньютона и в одномерном случае мб записаны

a – коэф-т теплообмена с окр.средой. q_CP(t) явл. известной ф-цией времени.