Вывод уравнения теплопроводности.
Рассмотрим некоторое неравномерно нагретое тело. Распределение температуры задает скалярное поле T(M). Точки тела с одинаковой температурой образуют изотермические поверхности T(x,y,z) = C.
Передача тепла идет от одной поверхности к соседней и направление движения тепла в каждой точке М задает нормаль к её изотермической поверхности T(x,y,z) = C, т.е. grad T. Количество передаваемого тепла пропорционально скорости изменения температуры от слоя к слою, т.е. |grad T|.. Поэтому процесс теплопередачи описывает векторное поле
(M) = - k gradT(M), где k – коэффициент теплопроводности. (M) показывает и направление изменения температуры в каждой точке тела и скорость этого изменения. Выделим в теле некоторый объем V, ограниченный замкнутой поверхностью G. Общее количество тепла, прошедшее за единицу времени через G, равно поверхностному интегралу от скалярного произведения поля (M) и нормального вектора поверхности 
Q 
( 29 )
Входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.
Пусть тепло выходит из объема V. Тогда каждый элемент объема dV при потере dQ теплоты снизит температуру на dT и dQ = - cp
dV dT , где cp - удельная теплоемкость, - удельная плотность. Но уменьшение температуры происходит во времени dT = T(t + dt) - T(t) 
dt при малых dt. В результате dQ =- cpdt dV и общее количество теплоты, выделяющееся из объема V за dt равно
Q’ = - cpdt 
( 30 )
За малое время dt векторное поле (M) не изменится и количество теплоты вышедшей из V согласно ( 29 ) равно Q = - dt
.
=
перейдем к интегралу по объему. Т.к. div (grad T) = div (
i + 
j + 
k ) = 
= 
T
и оба способа вычисления теплоты должны дать одинаковый результат, то Q = Q’ и
= 0
Поскольку V произвольно в т.ч.V
0, то подынтегральная функция должна быть нулевой. В результате получим общее уравнение теплопроводности
cp = k T или T - 
= 0 ( 31 )
где а2 = k/( cp). Это уравнение описывает процесс теплопередачи в ближайшей окрестности любой точки тела M(x, y, z). Если каждая точка тела имеет дополнительно источник тепла мощностью q , то приходим к неоднородному уравнению теплопроводности T - = - q k-1 ( 32 )
Еще по теме Вывод уравнения теплопроводности.:
- Уравнение теплопроводности.
- 21. Ур-е теплопроводности (вывод).
- №49. Уравнение теплопроводности, тип этого уравнения.
- Смешанная задача для уравнения теплопроводности.
- Смешанная задача для уравнения теплопроводности.
- Вывод уравнения колебаний струны.
- 19.Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений).
- Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.
- Задача 19. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности
- § 5. Дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки (динамические уравнения Эйлера)