26. Реш-е задачи Коши на ¥ прямой. Интеграл Пуассона.
Реш-е задачи Коши (1) даётся след.интегралом:
– интеграл Пуассона задачи Коши на ¥ прямой.
Физ. интерпретация этой формулы:
Выделим на оси x уч-к ¥ малой длины dx, кот содержит т-у x=x, тогда кол-во тепла: dQ=crj(x)dx. j(x) – распределение тем-ры. В силу малости уч-ка dx его м. считать точечным ? тогда распр-е Т, обусловл. таким «точечным» источником, б.определяться ф-цией Грина
Прямую нач.сост-я t=0 м.считать совокупностью участков длиной dx, тогда распр-е тем-ры, обусловленное действием всех таких источников длиной dx, очевидно, б.оп-ся интегралом по x от –¥ до ¥.
Д-м, что реш-е в форме (2) действительно удовлетворяет задаче Коши (1). Кроме этого, н.показать, что интеграл (2) сходится и равномерно сходятся интег-лы
Самое простое: показать, что выполняется НУ. Подставим (2) в НУ:
По св-ву d-фции. НУ выполняется #. (2)?(1)
т.к. выр-е в [] – ур-е теплопроводности д/ф-ции Грина, а ф-ции Грина явл.реш-ем ур-я теплопроводности.
Осталось д-ть сходимость. Д/простоты б.полагать /j(x)/£M явл. ограниченной ф-цией.
т.е. интеграл Пуассона сходится.
Зн-е интеграла м.точно найти ? (*) ?
Оба интеграла £ M.
[от –¥ до ¥] òexp(–a2)da=Op – ò вероятности / Эйлера-Пуассона. ò равномерно сходится (2й интеграл н.2раза проинтегрировать по частям)
м.заменить таким образом, а сходимость этого интеграла мы уже доказали ранее. Интеграл Пуассона (2) имеет 3 следствия: 1) тепло распр-ся мгновенно. Это св-во – реш-е всех параболических ур-й. e>0 сколь угодно малый пр-к времени, «квадрат» б.сглаживаться. Если ф-ция j(x) была кусочно-непрерывна, то реш-е u(x,t) д/любых м-тов времени e>0 б.непрерывным.
2) если ф-ция j(x)= –j(–x) (нечётная), тогда Т в т-е x=0 б.=0 в любой м-т времени
Такой ò б.в симметр.пределах =0.
3) если ф-ция j(x)= j(–x) (чётная), тогда производная по x=0. ux(0,t)=0. Это означает, что поток тепла в т-е x=0, равен 0.