18. Реш-е ИУ Ф с сим.ядром д/случая, когда l не явл. собственным зн-ем.

Реш-е Шмидта.

Предположим, что сущ непрерывное на [a;b] реш-е ур-я (1) u(x). Тогда введём в рассмотрение ф-цию

Ф-ция V(x) удовлетворяет усл-ям т-мы Г-Ш:

Если ф-цию f(x) м.представить в виде:

где g(x) непрерывна на пр-ке [a,b], то ф-цию f(x) м.

по собственным ф-циям ядра, абсолютно и равномерно сходящегося в пр-ке [a;b].

т.к. она представима ч/з ядро ИУ ? эту ф-цию м. представить в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда по собств.ф-циям (if ядро вырождено – сумма конечна).

где y_k(x) – собств.ф-ции ядра ИУ K(x,t). Согласно 1му следствию т-мы (V,y_k)=(u,y_k)/l_k. Подставим в (*):

Коэф-ты ряда (3) легко нах.из самого ур-я. Д/этого домножим (1) на y_k(x) и проинтегрируем òdx

Из (4) м.определить коэф-ты разложения ф-ции V.

Если объединить (2), (3) с учётом коэффициентов

Меняем порядок интегрирования и суммирования.

Реш-е в форме (5) предпочтительнее фредгольмовского, т.к. выделена главная часть ряда д/каждого полюса резольвенты (содержит ровно столько слагаемых, каков порядок этого полюса).

Покажем сходимость ряда в (5 ‘). Полагая кол-во собственных зн-й у ядра ИУ бесконечным, получим

l_k – собств.зн-я ядра ИУ или полюса резольвенты. Тогда выр-е в ряде (5 ‘) преобразуем

? б.сходится и ряд в ф-ле (5 ’). Справедливость ф-лы (5) м.проверить непосредственной подстановкой в (1) ? получим тождество. Реш-е в виде (5) и (5 ‘).