22. Единственность реш-я краевых задач д/ур-й параболического типа.

Р-м краевую задачу след.вида:

L[u]+f(M,t)=rU_t (1)

Диф.оп-р L[u], включён конвективный перенос.

L[u]=div(kgrad u)+qu

q имеет смысл скорости конвективного переноса (скорость движения жидкости/газа), k – коэф-т теплопроводности.

Т-ма единственности: реш-е краевой задачи (1)–(3) в замкн.обл-ти D, ограниченной пов-тью S, вместе со 2ми производными по пространственной переменной и первой производной по времени явл.единственным.

Док-во: Пусть u₁(M,t) и u₂(M,t) – некоторые непрерывные реш-я краевой задачи (1)–(3). Составим ф-цию v(M,t)=u₁–u₂. Н.д-ть, что v(t) в произвольной т-е М в произвольный м-т времени =0.

Очевидно, что краев.задача д/ф-ции v б.однородной

Воспользуемся д/док-ва 1й формулой Грина

Заменим L[v] ч/з производную

Д/1й и 2й краевых задач g₁=0 или g₂=0 ? 3й интеграл б.=0. В случае рассмотрения 3й краевой задачи выразим из ГУ:

и подставим в ò по пл-ди S.

Проинтегрируем (5) на пр-ке по времени от 0 до Т. Учитывая нулевые НУ д/ф-ции v, получим

Левая часть (6) неотрицательна, правая – неположительная ? v(M,T)=0. Учитывая, что Т выбрано произвольно, v(M,T)º0 #.