№11. Классификация диф. уравнений с частными производными.

Большая часть всех уравнений в частных производных 2^го порядка, линейных относительно вторых производных являются представителями 3^х различных классов уравнений, которые существенно отличаются друг от друга по методам исследования и по физической природе (описывают различные физические явления).

Остановимся более подробно на случае 2^х независимых переменных: u = u(x,y).

a,b,c - функции, определенные в некоторой области Ω = Oxy и имеющие непрерывные производные до 2^го порядка.

f - непрерывная функция своих аргументов; если f - линейная относительно u, u_x , u_y, то уравнение (1) - линейное.

Поставим перед собой задачу: с помощью замены независимых переменных (x, y) привести уравнение (1) к наиболее простому виду.

Введем новые переменные: , и потребуем, чтобы они были дважды непрерывно-дифференцируемы и чтобы якобиан перехода:

в области Ω.

Преобразуем производные к новым переменным:

Тогда уравнение (1) в новых переменных примет вид:

где

Попытаемся выбрать ξ(x, y) и η(x, y) так, чтобы обратить в нуль некоторые из коэффициентов A,B,C.

относительно неизвестной функции z(x, y). Поделим на z_y²:

Решим как квадратное уравнение относительно :

Решая каждое из них методом характаристик:

- интегралы системы (*), а, следовательно, решения уравнения (4).

Уравнения (5) могут быть записаны в виде одного уравнения:

Обычно это уравнение и используют для определения интегралов системы (5). Поведение функций φ(x, y) и ψ(x, y), а, следовательно, и искомый простейший вид исходного уравнения зависит от знака

Определение: Уравнение (1) называется в некоторой точке

гиперболического типа, если

эллиптического типа, если

параболического типа, если

Определение: Если знак сохраняет знак, или в некоторой области , то уравнение является гиперболическим, эллиптическим или параболическим в области G₁:

Пример: