№36. Приведение диф. уравнений с частными производными каноническому виду.

Можно показать, что:

Рассмотрим три случая:

1) - уравнение гиперболического типа.

В этом случае уравнения (5) и их общие интегралы вещественны и различны: .

Положим:

Тогда из получаем, что A = C = 0; из получаем, что

Поделим уравнение на 2B, получим:

Это первая каноническая форма уравнения гиперболического типа.

С помощью замены уравнение (8) можно привести к виду:

Это вторая каноническая форма уравнения гиперболического типа.

2) - уравнение параболического типа.

Уравнения (5), а следовательно, и их интегралы совпадают, т.е. мы получаем только одно вещественное семейство характристик:

- имеем одно решение; соответственно имеем ξ = φ(x, y).

В качестве второй переменной η(x, y) возьмем любую дважды непрерывно-дифференцируемую функцию, для которой:

Тогда из (3) имеем ; так как

Покажем, что так как

Если С = 0 в точке M₀, то aη_x + bη_y = 0; добавим уравнение, определяющее семейство характеристик: aξ_x + bξ_y = 0; тогда

Рассматривая эту систему, как систему линейных алгебраических уравнений относительно а и b. Так как а и b не обращаются в нуль одновременно, то у системы существует нетривиальное решение.

, что противоречит (*). Значит . Поделим (2) на С:

Это каноническая форма уравнения параболического типа.

3) . Коэффициенты уравнений (5), а следовательно и 1^ые интегралы уравнений - комплексные величины.

Пусть - один из интегралов (5), тогда другой интеграл будет комплексно сопряженным с указанным.

Чтобы не иметь дела с комплексными переменными, введем новые переменные

так как ξ = φ(x, y) - интеграл уравнения (5), отсюда - решением уравнения (4).

Разделим в этом тождестве действительные и мнимые части:

Из (3) и (11) [где через обозначены идентичные A, B, C функции из (3), только при новой (α,β) замене].

Из (7)

Поделим уравнение (2) на А:

Т.е. для уравнения эллиптического типа после определения 1^ых интегралов системы (5) достаточно положить: