29.Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры.
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входит неизвестная функция, независимая переменная и производная функции
.
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений 1-го порядка.
1) Неполные дифференциальные уравнения 1-порядка.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка (12.3) называется неполным, если оно не содержит в явном виде искомой функции 
или независимой переменной 
:
1. 
(не содержит ) (12.4.1)
Решение: 
, 
, откуда 
.
2. 
(не содержит ) (12.4.2)
Решение: Удобно искать в виде 
. т.к.
, то ур-е можно записать: 
, откуда 
.
Пример. а) 
.
б) 
, 
.
2) Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:
, (12.5.1)
или в виде 
. (12.5.2)
где 
- некоторые функции переменной 
; 
- функции переменной 
.
Для нахождения решения (12.5.1) и (12.5.2) преобразовывают таким образом, чтобы функции, зависящие от и 
были в одной части равенства, а функции, зависящие от и 
в другой. Затем интегрируем обе части равенства.
(12.5.1) Решение:  или  | (12.4.2)  |
Пример. Решить уравнение 
.
Решение. Разделяя переменные, имеем 
. Проинтегрируем левую и правую часть равенства 
. Далее имеем 
.
, Окончательно имеем 
.
Уравнения вида 
, где 
и 
- некоторые числа, приводятся к уравниваниям с разделяющимися переменными заменой 
(или 
, где 
- некоторое число).
Пример. Решить уравнение 
.
Решение: Пусть 
, тогда 
, откуда 
, или 
. Выразим 
: 
, и 
.
Интегрируем: 
, или 
, следовательно
.
Возвращаемся к первоначальным переменным: 
или 
, где 
.
Еще по теме 29.Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры.:
- § 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
- 30.Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры.
- 8. Численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
- Уравнения с разделяющимися переменными
- Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.
- Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
- Глава 10. Численные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными
- 7.1. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей.
- Задание 321–330. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
- 10.1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными
- Задание 301–310 Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
- Дифференциальные уравнения первого порядка.
- § 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- 18.Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия.
- Дифференциальные уравнения высших порядков.
- Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- § 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия.
- 6.4. Применение дифференциальных уравнений с малым параметром для решения нелинейных трансцендентных и алгебраических уравнений.
- 20.Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка. Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное решения