№15. Линейные диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

В математической экономике большое применение находят линейные дифференциальные уравнения, и поэтому мы рассмотрим решение таких уравнений. Дифференциальное уравнение (9.1) называется линейным, если имеет вид: р_o(x)y⁽ⁿ⁾(x) + р₁(x)y^{(n- 1)}(x) +...

где р_o(x), р₁(x),..., р_n(x), f(x) - данные функции. Если f(x) º 0, то уравнение (9.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Общее решение уравнения (9.2) есть сумма какого-либо его частного решения y(x) и общего решения соответствующего однородного уравнения:

р_o(x)y⁽ⁿ⁾(x) + р₁(x)y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}(x)y¢(x) + р_n(x)y(x) = 0. (9.3)

Если коэффициенты р_o(x), р₁(x),..., р_n(x) постоянные, то уравнение (9.2) принимает вид:

р_oy⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y¢(x) + р_ny(x) = f(x) (9.4) и называется линейным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами.

Соответствующее уравнению (9.4) однородное уравнение выглядит так:

р_oy⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y¢(x) + р_ny(x) = 0. (9.5)

Без ограничения общности можно положить р_o = 1 и записать уравнение (9.5) в виде

y⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y¢(x) + р_ny(x) = 0. (9.6)

Решение уравнения (9.6) будем искать в виде y = e ^kx, где k - постоянная. Имеем: y¢ = ke ^kx, y¢¢ = k² e ^kx,..., y⁽ⁿ⁾ = kⁿ e ^kx_. Подставляя полученные выражения в (9.6), будем иметь:

e ^kx (kⁿ + р₁k^n-1 +... + р_n-1k + р_n) = 0.

Т.к. e ^kx ? 0, то kⁿ + р₁k^n-1 +... + р_n-1k + р_n = 0. (9.7)

Равенство (9.7) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Оно называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (9.6). Характеристическое уравнение есть уравнение n-й степени, следовательно, оно имеет n корней, среди которых могут быть кратные и комплексные. Если k₁, k₂,..., k_n - действительные и различные корни уравнения (9.7), то - частные решения уравнения (9.7), а общее имеет вид y = .

Рассмотрим подробно линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: y¢¢ + рy¢ +qy = 0. (9.8)

Его характеристическое уравнение имеет вид k² + рk + q=0 (9.9) и в зависимости от значения дискриминанта D = р² - 4q возможны три случая.

1. Если D>0, то корни k₁ и k₂ уравнения (9.9) действительны и различны, тогда общее решение имеет вид: y = c₁ exр(k₁x) + c₂ exр(k₂x).

2. Если D = 0, т.е. корни k₁ и k₂ действительные и равные, то общее решение находится по формуле:

y = (c₁ + c₂x) exр (k₁x).

3. Если D