2. Обзор учения о величинах  

Учение о величинах есть поэтому учение о величинах и их свя&зывании (Verkniipfung) в новые величины, где под величиной по&нимается все то, что есть или может быть предметом мышления, коль скоро оно имеет только одно, а не много значений. Учение о величинах образует базу, общий ствол учения о мышлении, ко&торый несет на себе все ветви учения о мышлении, из которого они и вырастают.

В соответствии с этим учение о величинах не может предпо&лагать законов мышления; ибо иначе каждое нарушение этих за&конов означало бы ошибку в учении о величинах, что сделало бы все ветви учения о мышлении ошибочными и ненаучными. Стало быть, учение о величинах не может, в частности, предполагать за&конов языка, не может развертываться в рамках законов и форм языка. Только способность человека к мышлению, только воз&можность строго научного мышления, одним словом, только зре&лого, четко мыслящего человека - вот что оно предполагает[158].

Учение о величинах, в котором каждая величина должна иметь одно, а не много значений, не может, поэтому, иметь дело ни с изменяющимися вещами и представлениями языка, ни со сло&вами, которые всегда имеют множество значений, и по этой при&чине не может развертываться в языковых формах. Напротив, все величины, которые подлежат связыванию в учении о величи- нах, оно должно само и построить, определив их настолько точно, чтобы каждая из них приобрела единственное значение, относительно которого не может быть никаких сомнений.

С другой стороны, поскольку учение о величинах и учение о мышлении должны разработать законы любого мышления, по&стольку все, что есть или может быть предметом мышления, мо&жет стать предметом учения о величинах, соответственно, учения о мышлении, - так же как каждая связь в мышлении может рас&сматриваться как связь и в учении о мышлении.

Чтобы удовлетворить обоим требованиям, основоположник строгой науки, грек Аристотель (384-322 г. до Р.Х.) ввел в качест&ве однозначных знаков величин буквы, а в качестве однозначных знаков связей такие знаки, как + , =, и все представители строгой науки, особенно работающие в области учения о формах (математике), с тех пор придерживаются подобных обозначений, в то время как в логических науках, к сожалению, от этих обозна&чений отказались и поэтому впали в ненаучность, достойную со&жаления. Чтобы и здесь придти к строгому знанию, нужно и в этих ветвях вернуться к буквам как к знакам величин и связям как к знакам мыслей.

Если мы хотим подойти к делу строго научно, если мы хотим в строгой науке избежать ошибочных умозаключений и мнимых доказательств, мы должны начать строгую науку с изложения всеобщей ветви, т.е. с учения о величинах, в котором строго науч&ным образом выводятся общие предложения и законы, имеющие силу для всех ветвей формального знания. Это единственно науч&ный путь; и это одновременно путь самый короткий, самый лег&кий и самый простой, или элементарный, - путь, понятный каж&дому учащемуся.

Учение о величинах начинается с установления видов связыва&ния. Если результат связывания величин, например, а о b (чита&ется «а с Ь») должен иметь только одно значение, то он не может возникать различными способами; стало быть, нельзя, чтобы, на пример, положить a°b = boa, если предварительно не установле&но или не доказано, что и то, и другое имеет одинаковое значение.

Говорят, что для данного вида связи имеет силу объединение, ес&ли справедлива основная формула объединения ao(boe) = aob<>e, где а и b - любые величины, а е- простая величина или элемент. В учении о величинах доказывается, что если справедлива эта формула, то каковы бы ни были величины и сколько бы их ни было, скобки можно удалить, что, стало' быть, например, ao(bocodof) = aobocodof ц т.д., это означает, что тогда спра&ведлив закон объединения.

Равным образом говорят, что для данной связи справедлива перестановка, если кроме одной формулы объединения ао(Ьое) = аоЬ°е имеет силу также основная формула переста&новки е} ое2 = е2 °еп где ех и е2 суть две простые величины, или элемента, и доказывают: коль скоро действуют эти основные формулы, закон перестановки также имеет силу, то есть что в данной связи, каковы бы ни были величины и сколько бы их ни было, любую скобку можно удалить или ввести, а порядок вели&чин как угодно изменить.

В соответствии с этим в учении о величинах различают три вида связи: привязывание, ввязывание и связывание.

Привязывание есть связь, которая не обладает ни объедине&нием, ни перестановкой; в этом случае нельзя ни удалять скобки, ни изменять порядок величин. Примером здесь служит любой словарь и любой научный труд, в котором нельзя изменить поря&док мыслей и структуру абзацев и разделов.

Ввязывание есть связь, обладающая объединением, но не об&ладающая перестановкой; значит, в этом случае можно удалять любые скобки, но нельзя менять порядок величин.

Связывание есть соединение, при котором имеет место как объединение, так и перестановка, следовательно, можно удалять любые скобки и как угодно менять порядок величин. Примером такой связи может служить сложение чисел, ибо в этом случае 8 + (7 + 2) = 8 + 7 + 2,т.е. 8 + 9=15 + 2,а8 + 3 = 3 + 8.

В учении о величинах, далее, различают два рода связи: отде&лимую и неотделимую связь.

Отделимая связь есть соединение, в случае которого сущест&вует единственная величина а, в связи с некоторой другой величи&ной Ъ дающая целостность aob, и для этой связи, если aob = boc, то а - с.

Неотделимая связь - это соединение, при котором существуют две или более величин, которые, будучи связаны с Ъ, дают в ре&зультате aob, например, 8о0 = 20©0, но не 8 = 20.

Для каждой отделимой связи существует также разъединение а и b (читается « а разд 6»), когда даны целостность а = Ъ + с, а также одна величина Ьу и отыскивается другая величина с - выде&ленное. В учении о величинах разрабатываются законы и для это&го случая.

В учении о величинах исследуется затем порядок [уровень] связывания.

Прибавление, или сложение [суммирование] имеет самый низ&кий порядок. Целостность а + b (читается « а плюс Ь») называет&ся в этом случае суммой, а каждая величина - ее частью [шту&кой - Stuck]. Здесь тоже имеется три вида сложения: присоедине&ние, вложение и добавление, т.е. соответственно: прибавление, для которого не имеет места объединение; прибавление, для ко&торого имеет место объединение, и прибавление, при котором имеет место не только объединение, но и перестановка частей [суммы]7*.

Разъединение, соответствующее в этом случае отделимому сложению, называется отниманием или вычитанием, а-Ъ (чита&ется «а выч. b»). Выделенное называется в этом случае остатком. Добавлению здесь соответствует убавление. Величина, которая не приводит к изменению другой величины, в случае сложения называется нулем (знак 0), т.е.

Переплетение, или умножение есть [связь] второго порядка; целостность а • b (читается «а раз b») называется в этом случае продуктом, или произведением, а каждая переплетаемая величи&на - отделом ячейкой, или сомножителем. Здесь также имеется три вида переплетения: приплетение [Anweben], вплетение [Einweben] и сплетение [Verweben]; т.е. приплетение - случай, ко&гда не имеет места ни объединение, ни перестановка; вплетение - не имеет места перестановка, но действует объединение; и спле&тение - случай, когда имеют место оба - и объединение и пере&становка.

Новым в случае переплетения является его взаимосвязь со сложением. Основными формулами этого отношения являются a(b + е) - ab + ае и (а + b)e - ab + ае. Отсюда, если для переплете&ния справедливо объединение, то в учении о величинах выводит&ся закон отношения, гласящий, что каждая часть [штука] некото&рого отдела должна быть переплетена с каждой частью другого, а также устанавливается, какие знаки следует ставить перед отде&лами: + или

Разъединение, которое в этом случае соответствует отдели&мому переплетению, называется разделением или делением: а.Ь или alb (читается «а на Ь»\ делитель b должен быть здесь отличен от нуля, а выделенное называется в этом случае долей, или част&ным. Сплетению в этом случае соответствует подразделение. Ве&личина, которая не приводит к изменению, в случае переплетения называется единичностью (знак 1), т.е. а • 1 = а = 1. а. Перепле&тение и разделение возможны только при условии, что для пере&плетения справедливо объединение.

Возведение в степень есть связь третьего порядка; она су&ществует только при условии, что объединение имеет силу как для переплетения, так и для сложения. Для возведения в сте&пень справедливо двойное отношение - отношение к перепле&тению и отношение к сложению. Основная формула: а^€ = ah ae. Целостность аь (читается «а возв b») называется в этом случае высотой [die Hohe], а - основанием [die Base], b - ступенью [die Stufe]. И в этом случае существуют три вида возведения в сте&пень: повышение [das Anhohen], завышение [die Einhohen], когда (іab)c = ac-fc, и превышение [das Erhohen], когда, кроме того, ahc = асЬ.

Возведению в степень с отделимой базой соответствует, в качестве разъединения, углубление, или извлечение корня, ayfl (читается «а кор У2)> гДе даны высота Ь-ас и ступень с, отличная от нуля, и разыскивается основание а, называемое глубиною.

Возведению в степень с отделимой ступенью соответствует,

ь

в качестве разъединения, логарифмирование или log b (чита-

Д              а

ется «лог b по я»), когда даны высота b = ас и основание а, отлич&ное от единичности, и отыскивается ступень с, называемая логом [der Log], или логарифмом.

В учении о величинах рассматриваются законы для этих свя&зей и разъединений, а также доказывается, что связей более вы&сокого порядка не может существовать. (...)