строго вывести и доказать в общей части учения о формах.
Оно образует как бы ствол, от которого отходят другие ветви.
Однако сложение, или прибавление, и умножение, или пере&плетение, если не говорить об установлении равенства, ни в коем случае не представляют собой единственные и наиболее общие способы связывания в учении о величинах. Разумеется, общими для обоих являются законы снятия скобок, или объединения, с од&ной стороны, и закон перестановки - с другой. Так, закон скобок или закон объединения, а о ф о с) = а о Ъ с, охватывает закон при&бавления, или сложения, a + (b + c) = a + b + c и закон умножения, или переплетения, а ф с) = a b с; а закон перестановки aob-boa охватывает закон сложения а + b = b + а и закон перемножения a b = b а. Оба эти закона могут и должны быть развиты прежде, чем может зайти речь о прибавлении и переплетении.
Кроме того, закон объединения может действовать сам по се&бе, без того, чтобы действовал закон перестановки, и существует большое число исчислений в которых действует только объеди&нение, но не перестановка; поэтому закон объединения, или ско&бочный закон должен быть введен до того, как может зайти речь о перестановке20*.
В соответствии со сказанным структура учения о величинах является следующей. После общих определений следуют предло&жения, относящиеся к равенству, - раздел 2; за ним непосредст&венно следует определение присоединения для которого не имеет места ни объединение, ни перестановка - раздел 3\ затем предло&жения об объединении величин без перестановки - раздел 4 и предложения о перестановке - раздел 5. Только после этого про&изводится различение разных уровней связи. В разделе 6 следу&ют предложения, касающиеся отношения21*, для которого дейст&вует закон (а о Ь) с = а с о b с\ последний может встретиться во всех тех случаях, где для более низкого уровня действует объеди&нение. Если с обеих сторон равенства имеет место одна и та же связь о, то отношение называется простым, а если разные связи о и о, так что (а о Ь)с = а с о b с, то такое отношение называется двойным.
Только после этого в разделе 7 появляется связь низшего уровня - прибавление, или сложение, и затем в разделе 8 - сред&ний уровень связи - переплетение, или перемножение; наконец, в разделе 9 - самый высокий уровень, возвышение или возведение в степень.
Что касается формы преобразований и доказательств, то здесь, очевидно, не может быть использовано понятийное, или логическое, умозаключение или доказательство, потому что еще ведь не развито и не обосновано учение о понятиях, или логика; наоборот, это учение должно быть развито только после учения о величинах.
Заранее предполагая в доказательствах то, что должно быть доказано лишь впоследствии, мы были бы повинны в круге в умозаключении или в ошибочном заключении22*.
По счастью, однако, в наших доказательствах в учении о ве&личинах мы вовсе не нуждаемся в понятийном, или логическом, умозаключении. А именно в понятийном выводе имеет место за&ключение от некоторого более широкого понятия к понятию, ко&торое ему подчинено, или является более узким. В отличие от этого в доказательствах учения о величинах мы имеем дело не с подчиненными, а только с равными или неравными величинами. Стало быть, понятийное, или логическое, умозаключение не на&ходит в учении о формах совершенно никакого применения. То же самое вытекает из того, что все доказательства учения о фор&мах могут и должны производиться с помощью формул и что пе&ревод этих доказательств на язык есть только некоторое [их] вос&произведение в сфере обыденного мышления - сфере, которой чуждо строгое учение о формах само по себе.
В случае предложений, относящихся к равенству, развитие начинается с определения, согласно которому две величины мо&гут быть названы равными только в том случае, когда в любой связи учения о формах одну из них можно заменить другой без изменения значения. Доказывается: если в некоторой последо&вательности величин каждая предшествующая величина равна непосредственно следующей, то первая равна любой последую&щей; ибо тогда первая равна второй, вторая же может быть за&менена равной ей третьей, а эта последняя - равной ей непосред&ственно следующей величиной. Следовательно, первая величи&на равна любой последующей. Это есть первый закон равенства или предложение о прямом или непосредственном доказатель&стве2**. Доказывается, далее, что если в последовательности ве&личин для первой из ее величин справедливо некоторое равенство и оно, кроме того, таково, что, когда оно справедливо для любой величины последовательности, оно справедливо также для непосредственно следующей величины последовательности, то оно справедливо вообще для всех величин последовательно&сти.
Это второй закон равенства или предложение о поступа&тельном, или индуктивном доказательстве. Оба рода доказа&тельств - единственные, которые относятся к общему учению о формах. В учении о понятиях мы познакомимся, кроме того, с непрямым, или косвенным, доказательством, которое часто ис&пользуется в последующих частях учения о формах, особенно в учении о пространстве24*.
В случае предложений об объединении величин эти формы доказательства находят свое первое применение. Раздел начина&ется с определения объединения. Пусть мы пожелали бы преду&смотреть в этом определении закон объединения в полном объе&ме и определить объединение следующим образом: объединение есть такая связь величин, при которой каждую скобку можно как угодно поставить или удалить. Такое определение было бы слиш&ком широким и ненаучным, поскольку в нем было бы выражено то, что можно вывести из гораздо более узкого определения. По&этому [из него] невозможно было бы узнать, каково то предполо&жение которое необходимо для того, чтобы имел место закон объединения в целом. Но хорошее определение не должно уста&навливать ничего, кроме допущения [предположения], совершен&но необходимого для дела.
Пусть даны штифты, или элементы, которые еще никак не связаны. Уже установлено, что при последовательной связи скоб&ки можно опустить, стало быть, (а о е{) о е2 = а о ех о е2. Необхо&димо еще установить, что должно означать: с величиной а надо связать целостность, состоящую из величины h и одного штифта, например я о (ft о е). Если здесь нельзя удалить скобку, то удале&ние скобок невозможно никаким способом, кроме последователь&ной связи; если же, наоборот, ее можно удалить и, стало быть, а о (ft о е) = а о ft о е, то любая скобка может быть удалена, что по&зволяет вывести закон объединения целиком. А именно сначала имеет место (а о ех) о е2 = а о ех о ev Затем имеет место а о (ах о е2 о е3) = а о (ех о е2) о е3 = а о ех о е2 о ег и так далее.
Определение: связь называется объединением, если а о (Ь о е) = = а о b о е; этого, следовательно, достаточно, чтобы удалить все скобки.
С другой стороны, это определение не содержит и слиш&ком много; ибо если предположить, что оно должно действовать при не более чем 10 штифтах, или элементах, то мы можем поло&жить, что b содержит 10 штифтов, и тогда не будет справедливо а о (Ь о е) = а о b о е, и, стало быть, с этого момента недопустим никакой род удаления скобок (кроме случайной связи).
Многим из тех, кто привык к ненаучному пустословию дока&зательств в логике и арифметике, поступательная, или индуктив&ная, форма доказательства кажется утомительной, отпугиваю&щей и - особенно для школ - непрактичной и неподходящей. Эти люди будут, наверное, морщить нос и высокомерно осуждать предлагаемый строго научный метод. Поэтому еще несколько слов по их адресу. Я хочу спросить своих оппонентов:
- Может быть, вы хотите начинать с величин, уже связанных друг с другом, не определяя законы связи и не вводя штиф&тов, или элементов, которые они связывают?
Я со своей стороны считаю, что единственно научным и для учащихся основным является введение штифтов, или элементов, и последующее связывание их в другие величины по определен&ным законам.
- Может быть, вы хотите одновременно вывести все величи&ны, которые могут быть построены с помощью связи, не переходя постепенно от одной уже построенной величины к непосредственно следующей посредством ее связи с но&вым штифтом?
Я со своей стороны, лишь постепенно строю каждую следую&щую величину из предшествующей с помощью связывания с не&которой новой величиной, и любой учитель начальных классов подтвердит, что только на этом пути в учении о числах можно по&строить числа. Мои оппоненты в детстве тоже так учились счи&тать, когда они заучивали: один и один есть два, два и один есть три, три и один есть четыре и т.д. Итак, поступательное (индук&тивное) продвижение вперед - полагание штифтов, или элемен&тов, и последовательное связывание штифтов в величины - явля&ется необходимым; только оно является правильным, только оно является основным.
- Может быть, вы хотите в случае связи нескольких величин связывать их в любом количестве и притом брать величи&ны любой сложности. А не желаете ли вы каждый раз свя&зывать только две величины, а именно, поступать так, что&бы вторая величина сначала содержала только два штифта, или элемента, затем - три штифта и так продвигаться впе&ред, каждый раз выбирая величину, содержащую на один штифт больше?
Я, со своей стороны, всегда выбираю последний путь как единственно научный и основной. Как только дети таким спосо&бом построили числа, в школе приступают к прибавлению25* чисел, или сложению. Учитель показывает детям, что вместо прибавления числа 2 можно прибавить один, а затем еще один, и разучивает с ними: «один и два дает три, два и два дает четыре и т.д.». После того, как это прочно усвоено, учитель говорит, что вместо трех можно прибавить два, затем один, и разучивает с ни&ми прибавление числа три. Аналогично, в случае каждого следу&ющего числа, он показывает детям, что вместо того чтобы при&бавлять следующее число, можно прибавить предшествующее число и единицу, и прежде чем идти дальше до полной прочности разучивает с ними следующий ряд [чисел].
Существует, стало быть, лишь один исходный путь обучения учению о формах - это поступательный, или индуктивный путь; аналогично, существует только один научный путь развертыва&ния и обоснования исходных основ учения о формах - опять-таки поступательный, или индуктивный. Однако вернемся к нашему предмету.
Из определения того, что аофое)-аоЬоеув предложени&ях об объединении выводится закон объединения, или скобочный закон, согласно которому, поскольку справедлива эта формула, каждая скобка может быть как угодно введена или удалена, а ре&зультат опять-таки будет величиной, штифты, или элементы, ко&торой связаны последовательно.
Относительно перестановки величин следует, прежде всего, заметить, что одна перестановка без объединения не дает ничего нового26*. Пусть, например, имеет место перестановка второго уровня ех о е2 = е2 о еь но не имеет места объединение. Тогда в вы&ражении ех о е2 о е3 можно, конечно, произвести перестановку в ех о еъ однако этого нельзя сделать в е2 о е3, ибо, если восстано&вить скобки, то окажется, что ех о е2 о еъ = (ех о е2) о е3 и, стало быть, е2 и е3 разделены скобкой и - поскольку не имеет места объединение - их нельзя поменять местами. Если же объедине&ние имеет место, то скобки можно расставить любым способом; после этого ех о е2 о е3 = ех о (е2 о е3). Здесь можно поменять мес&тами ег и е3 и, стало быть, получить ех о(е2ое3)-ехое2о е3. Оп&ределение перестановки, таким образом, должно предусмотреть справедливость не только объединения, но и перестановки двух соседних штифтов, или элементов. Тогда, если доказан закон пе&рестановки, то скобку можно поставить где угодно и удалить от&куда угодно, а порядок величин как угодно изменять, сохраняя значение результата.
За перестановкой сразу следует закон отношения, предпола&гающий для связи более низкого уровня закон объединения, или закон удаления скобки. Для определения отношения тогда доста&точно, чтобы было установлено (а о е) b = ab о eb и а (Ь о е) = ab о eb, откуда последовательно, или индуктивно, можно вывести относи&тельный закон в целом. С другой стороны, это допущение не со&держит также ничего, что не было бы необходимым для того, чтобы вывести из него относительный закон. Наконец, это опре&деление тоже носит чисто базовый характер. Учитель, который в ходе преподавания арифметики обучает детей переплетать, или перемножать, показывает детям, что единожды два есть два, и за&тем продолжает: дважды два есть единожды два и один на два, единожды два есть два, два и два есть четыре, стало быть, дваж&ды два тоже есть четыре; трижды два есть дважды два и едино&жды два, но дважды два есть четыре, единожды два есть два, а че&тыре и два есть шесть, стало быть, трижды два тоже есть шесть; четырежды два есть трижды два и единожды два, трижды два есть шесть, единожды два есть два, шесть и два есть восемь, ста&ло быть, четырежды два есть восемь и т.д. Определение, следова&тельно, совершенно элементарно.
После этого легко получаются законы для отдельных уров&ней связи - для прибавления, или сложения, для переплетения, или перемножения, и для возвышения, или возведения в степень.
Остается только еще сказать несколько слов об искусственно образованных выражениях. Новый способ рассмотрения предмета требует, если мы хотим быть научно строгими, также и новых ис&кусственных слов. Так, в учении о величинах для такого способа связи, как перемножение, мы познакомимся с тремя ее видами, в учениях о понятиях и о числах - с одной в каждом, в учении о со&единениях и учении о протяженности - с четырьмя в каждом, а все&го, стало быть, с тринадцатью видами. Было бы ненаучно обозна&чать все эти различные виды связи одним и тем же словом умноже&ние; добавление имен прилагательных является только некоторым ненаучным искусственным средством. Здесь надо, стало быть, вво&дить новые названия27*. С другой стороны, если мы хотим сделать мышление основательным и точным, а науку - продвинуть в народ, то необходимым оказывается требование, чтобы каждое искусст&венное выражение имело немецкую форму и могло подвергаться преобразованиям, свойственным немецкому языку. Народ никогда не подвести к пониманию вычислений, если говорить ему об адди- ровании [Addiren] и мультиплицировании [Multipliciren], о факто&рах [Factoren] и продукте [Product]28*, о мультипликаторе [Multiplicator] и мультипликанде [Multiplicandus] и эти чужие слова употреблять в деревенской школе, заставляя их заучивать. Поэто&му вместо чужих слов надо ввести новые немецкие надо слова, ко&торые могли бы быть общими для науки и народной школы29*.