3. Пять ветвей учения о формах
1) Учение о величинах, первая, или общая, часть учения о формах, знакомит нас с такими связями величин, которые явля&ются общими для всех ответвлений учения о формах; оно рассма&тривает законы равенства, сложения [Addition], или прибавления [Fugung], умножения [Multiplication], или переплетения [Webung], и возведения в степень [Potenzierung], или возвышения [Hohung].
Четыре частные ветви учения о формах
Из учения о величинах посредством введения новых условий непосредственно получаются четыре частные ветви учения о формах.
Главным вопросом в этих условиях является то, что возникает посредством связывания равных штифтов (элемен&тов). Связь е о е может быть или равна е или не равна е\ если имеет место первое, то целостность, состоящая из связи сколь угодно многих е, есть снова то же самое е\ если имеет место вто- рое, то связь равных е постоянно порождает новые и новые ве&личины.Первую связь, соответствующую связи представлений в мыс&лях, при которой два одинаковых представления сливаются в од&но общее представление, мы называем внутренней связью, в от&личие от второй связи - внешней. Эта последняя соответствует связи вещей во внешнем мире, где две равные вещи никогда не становятся одной вещью, но обе остаются в пространстве, и все&гда чем больше становится вещей, тем больше они занимают места в пространстве.
Но внутренняя и внешняя связи в свою очередь могут высту&пать в качестве прибавления, или суммирования, так же как в ка&честве переплетения, или перемножения, в соответствии с чем, стало быть, имеются четыре различных рода связи. В случае вну&треннего прибавления, или сложения [Addition], каждый шрифт, поскольку его прибавляют к нему же самому, всегда остается дан&ным штифтом без какого-либо изменения своего значения.
Стало быть, здесь мы имеем дело просто с представлениями в нашей го&лове, со связью представлений или понятий. Но в случае внешне&го прибавления, или сложения, каждый новый штифт, который прибавляется к некоторой величине, построенной путем связи этого штифта с самим собой, дает всегда некоторую новую вели&чину, не сливая данный штифт с равным ему штифтом в единый штифт; стало быть, мы имеем здесь дело исключительно с вещами внешнего мира.В случае внутреннего переплетения, или перемножения, ха&рактер отношения штифтов является внутренним. Каждый штифт, наложенный на равный ему штифт, опять-таки дает тот же самый штифт, подобно тому как наложение представления на равное понятие дает снова только лишь то же самое представле&ние, то же самое понятие. В отличие от этого в случае внешнего переплетения, или перемножения, характер отношения штифтов является внешним. Каждый штифт, наложенный на равный ему дает некоторый новый штифт, подобно тому как наложение ве&щи на одинаковую [равную] вещь не порождает ту же самую вещь, а дает некоторое новое отношение, некоторую новую вещь. Внутреннее и внешнее переплетения, стало быть, относят&ся друг к другу как мыслимое и внешнее отношение и образуют вторую противоположность в пределах четырех ветвей учения о формах15*.
Теперь мы можем перейти к установлению самих четырех ветвей учения о формах. Первые две - это те, для которых имеет место внутреннее прибавление, две вторые - это те, для которых имеет место внешнее прибавление. Но в каждом из этих двух под&разделений первой ветвью является та, для которой выполняется внутреннее переплетение, а второй - та, для которой действи&тельно внешнее переплетение.
- Первая частная ветвь учения о формах, самая простая и одновременно самая глубинная, есть учение о понятии [Begriffs- lehre], или логика. В ней понятия внутреннего, или мыслимого, определяются внутренним понятийным способом. В ней действует не только внутреннее прибавление е + е = е, но и внутреннее пе&реплетение е - е = е, в то время как продукт или произведение раз&личных штифтов устанавливается равным нулю:
е{е2 = 0.
- Вторая частная ветвь учения о формах, служащая для упо&рядочения понятий внутреннего мира, есть учение о соединениях или комбинаторика [Combinationslehre]; понятия в ней устанавли&ваются, упорядочиваются и связываются внешним образом. В ней действует внутреннее прибавление е + е = е, но внешнее перепле&тение е е ^ е. Здесь появляется ряд новых переплетений, или пе&ремножений. Мы устанавливаем либо е • е = 0 - связку без повто&рения, либо е е ^ 0 - с повторениями; мы устанавливаем либо €\ег = еге\ - раздельность (Complexio), либо еЛег ^ е2ех - вариа&тивность.
- Третья ветвь учения о формах, самая простая с точки зре&ния постижения внешнего мира, есть учение о числах, или ариф&метика; в ней не обращают внимания на различие вещей внешне&го мира. Последние, в качестве одинаковых, подлежат счету или прибавлению. Но отношение к вещам вне нас является лишь вну&тренним, понятийным - не таким, что два внешних штифта на&кладываются один на другой, а лишь таким, что число, образо&ванное внутри [нас], накладывается на внешний штифт. В ней действует внешнее прибавление, где е + е Ъ е и при последова&тельном прибавлении равного штифта е каждое следующее чис&ло отличается от всех предшествующих; в отличие от этого внут&реннее переплетение ІХІ = ІИІХ? = 1.
- Последняя ветвь учения о формах, одновременно и самая сложная, и самая внешняя, есть учение о внешнем. В ней вещи внешнего мира рассматриваются отчасти как равные [одинако&вые], отчасти как неравные; одинаковые подлежат счету, неоди&наковые [неравные] - прибавлению, и отношение вещей как не- что отличное от вещей тоже представляется внешне. Этой ветви больше всего соответствует внешний мир и его соотношения. Прибавление является внешним: е + е ^ е, так же как внешним является и переплетение: ее ^ е.
Здесь тоже либо е - е = 0 - продукт без повторения, либо е е %
0 - с повторением, и либо е{е2 = е2ех - сплетение либо ехе2 ^ е2ех - заплетение16*.
В случае всех 4 ветвей вопрос заключался в том, чтобы оты&скать строго научную форму. В течение многих лет совместного труда мой брат Герман и я преследовали эту цель, и мы полагаем, что достигли ее и можем внести научную строгость - в сочетании с элементарной простотой - в начальные разделы математики. Однако я лучше воздержусь от какого-либо суждения об этом, пусть дело говорит само за себя. Арифметика и учение о протя&женностях моего брата, так же как предлагаемый мною труд яв&ляются примерами той строго научной формы, которой мы доби&ваемся.