ДИАЛЕКТИКА УЧЕНИЯ О ПРОТЯЖЕННОСТЯХ ГЕРМАНА ГРАССМАНА  

Способы перехода к «реальным» операциям могут быть раз&личными. Один из них был применен в грассмановской арифмети&ке, о чем мы еще будем говорить, другой был положен в основу учения о протяженностях. Этот последний способ излагается в по&следующих параграфах и разделах книги 1844 года (в нашем пере&воде содержатся только первые параграфы). Здесь Г. Грассман показывает, что в этом его учении могут быть введены «виды ум&ножения, для которых не имеет места по крайней мере перестано&вочность сомножителей, но к которым тем не менее полностью приложимы все до сих пор установленные предложения (предло&жения «общей теории форм».

Как мог убедиться читатель, Г. Грассман понимал математи&ку как науку об умственных построениях. Эти построения, ко&нечно, находятся в определенных отношениях к реальности, одна&ко отношения эти осуществляются вне математики: связи мате&матики с прикладными областями реализуются, согласно его взгляду, через посредство наук, которые опираются на «исходное созерцание» (Grund-Anschauung) пространства и времени (а благо&даря этому - и движения). Этими науками являются геометрия и механика. Рассматривая (в разделе В «Введения») способы умст&венного построения - «становления благодаря мышлению», как выражается Г. Грассман, - автор «Учения о протяженностях» приходит к понятиям о непрерывной и дискретной формах. Диск&ретная форма предполагает двойной акт: полагания (установле&ния) чего-то мышлением и связывания установленного. Для не&прерывной формы полагание и соединение сливаются. Различе&ние этих двух форм вместе с понятиями об одинаковом (равном) и различном приводит к понятию о четырех типах форм, причем каждому типу соответствует особая ветвь «чистого учения о фор&мах». Напомним слова Г. Грассмана: «...сначала дискретная фор&ма разделяется на число и комбинацию (соединение <Gebinde>). Число есть алгебраическая дискретная форма, т.е. объединение того, что полагаемо как одинаковое; комбинация есть комбина&торная дискретная форма, т.е. объединение того, что полагаемо как различное. Таким образом, наука о дискретном есть учение о числах и учение о комбинациях (учение о соединениях)».

Изучение подхода Г. Грассмана, особенно если учитывать не только труд 1844 г., но и переработанный его вариант 1862 года, дает право на следующую интерпретацию. Числа (целые положи&тельные) представляют собой формы, порождаемые из единст&венного элемента е с помощью операции « + »; иначе говоря, это объекты вида е + е + ...

В грассмановском учении о протяженностях предметом рас&смотрения являются величины вида а^і + а2е2 + ...+a„en, где el9 е2, ..., еп суть независимые «единицы», полученные благодаря движе&нию точки как порождающего элемента, т.е. на современном языке, направленные отрезки, а а,, а^,а„ - вещественные ко&эффициенты. Выписанную выше сумму можно трактовать как грассмановское комплексное число, где е,, е2,еп - компоненты комплексного числа. Сумма и разность двух таких чисел опреде&ляются путем сложения и вычитания соответствующих компо&нент (т.е. по сути дела выражает, с современных позиций, сумму и разность векторов).

Заметим, что сложение и вычитание таких комплексных чи&сел суть операции, которые подчиняются тем же формальным за&конам, что и одноименные операции для чисел вещественных.

Что же касается произведения высших комплексных чисел, то оп&ределить его так, чтобы оно подчинялось формальным законам арифметики вещественных чисел, как известно, нельзя.

Идею умножения как операции, результаты которой лежат вне области ее определения, Г. Грассман заимствовал у отца[171], Ю.Г. Грассмана. Последний высказал ее в связи с вопросом об ум&ножении в геометрии: он писал, цитирует Г. Грассман отца, что «треугольник является на самом деле геометрическим произведе&нием, а его построение представляет собой геометрическое умно&жение», что «умножение есть лишь только построение высшего порядка» и что «как линия получается из точки, так треугольник получается из линии»[172].

Таким образом, позиция Г. Грассмана состоит в том, что фор&мы, которые поначалу не имеют реального содержания, могут приобретать таковое, по-различному осмысляться: быть точками, векторами, ориентированными площадками и т.д. На этом пути им вводится 16 различных видов умножения. Однако возникаю&щие таким образом формы и операции над ними трактуются в терминах законов, введенных Грассманом во вступительном «Очерке» к труду 1844 года.

Описанный подход реализуется в первой части книги 1844 года. Здесь рассматриваются системы различных порядков. Взяв эле&мент из одной системы и подвергнув его изменению, мы получа&ем элемент из новой системы. Так, движение линии в некотором (прямолинейном) направлении порождает плоскость - систему второго порядка. Этот переход, согласно Г. Грассману, можно мыслить неограниченно продолжаемым - до получения системы любого порядка или, в современных терминах, до возникновения пространства любой размерности. Говоря более конкретно, Грассман начинает с того, что вводит направленные отрезки

(векторы) и доказывает, что для них выполняются все установ&ленные в «теории форм» законы сложения и вычитания (соот&ветствующим образом объясняя смысл этих операций). Затем он доказывает теоремы о наличии у получаемых им систем дальней&ших алгебраических свойств.

Вторая глава сочинения 1844 года «Ausdehnungslehre» озаглав&лена «Внешнее произведение отрезков». Здесь, в § 28, Грассман приводит «простой и всеобщий» закон: «Если на плоскости отре&зок движется последовательно вдоль каждого из двух данных на&правленных отрезков, то общая площадь поверхности, которая по&лучается таким образом (при условии, что знаки отдельных эле&ментов поверхностей берутся установленным способом), равна той площади, которая могла бы быть получена, если бы отрезок дви&гался вдоль суммы этих отрезков»[173]. Поясняя это утверждение, Грассман рассматривает три компланарные (лежащие в одной плоскости) параллельные линии[174]: ab, ef, cd, пересеченные тремя парами параллельных линий ае и bf ее и/d, ас и bd. Если отрезок ab продвинулся вдоль отрезка ас и достиг отрезка cd, то тем са&мым он заполнил площадь прямоугольника aedb. Но из рис. 2 вид&но, что площадь этого прямоугольника равна сумме площадей па&раллелограмма baefb и eedf. Значит, можно считать, что движение отрезка ab вдоль отрезка ас (до ef) порождает ту же самую площад&ку, что и движение отрезка ab сначала вдоль ае, а затем - ее (до cd).

Очевидно, что операцию п, которая в данном примере была применена к отрезкам, можно считать умножением, подчиняю&щимся дистрибутивному закону относительно сложения (на осно&ве общего учения о формах): а п (Ь + с) = (а п b) + (а п с), а значит, в силу коммутативности умножения, (Ь + с) n а = = (b п а) + (с о а). В применении к грассмановскому примеру эта дистрибутивность дает (если воспользоваться привычной ныне векторной записью):

ab ас = 3>( ас + ее) = ab • ае + ab- ее.

Каков смысл операции, порождающей внешнее произведе&ние? В современных терминах это произведение базисных эле&ментов е{, е2, еп, которые подчиняются следующим законам. Пусть i, jf к представляют собой различные значения п\ тогда efij = е1е1 = efij = 0; et {ej + ek) = e^j + е,€к. Отметим, что послед&нее из трех равенств выписывать было не обязательно, так как свойство дистрибутивности включается Грассманом в само поня&тие умножения.

Грассман определяет произведение любого числа направ&ленных отрезков: произведение а г\Ь пс Г\... означает, что ве&ктор а сначала движется вдоль b, затем результат этого движе&ния - ориентированная площадка - движется вдоль с, и так далее; так получаются порядки выше, чем третий. Грассман по&казывает, что такого рода соединения обладают свойством дист&рибутивности, и для каждого вновь построенного объекта обос&новывает соответствие его свойств требованиям своей «общей теории форм».

Мы привели эти грассмановские конструкции, чтобы пока&зать, как «работает» у него генетический способ математическо&го мышления. Этот способ тесно связан для него с диалектикой тождества и различия, дискретного и непрерывного. Он не был понят ни современными ему математиками, ни философами. И несмотря на это Г. Грассман до конца дней оставался при убе&ждении в его достоинствах, сознавая при этом, что принятый им подход «больше говорит философски образованному читателю, чем более удобный для математиков способ изложения в "Учении о протяженностях" 1862 года».

Естественно, что в последующем развитии математики эти результаты Г. Грассмана были переосмыслены с иных позиций, далеких от философии математики автора «учения о протяжен&ностях». Но философский пафос Г. Грассмана как поборника, по сути дела, диалектической идеи движения как четко описывае&мого перехода к системам все более высокого порядка, заслужи&вает внимания если не с математической, то с философской точ&ки зрения. Вообще, интерес Г. Грассмана к философии, которым он был обязан Шлейермахеру, довольно ясно отражается в труде 1844 года.

Шлейермахер выделял в диалектике две части. Первая, «трансцендентальная», часть рассматривает понятия мышления и знания - ее интересует отношение познания к бытию. Вторая, «техническая», часть занимается построением форм, с помо&щью которых формируется знание; ее объект - умственное конструирование. Поэтому она содержит учение о понятиях и суждениях, а также теорию их комбинаций; при этом последняя должна, по мысли Шлейермахера, занять место традиционного учения об умозаключениях. Задачей диалектики он считал пре&одоление противоположности между идеальным и реальным, основой чего должно служить непосредственное осознание по&знаваемого[175].

Нетрудно усмотреть параллели между этими взглядами и подходом к математике («учению о протяженностях») и логи&ке, развитым Германом, а потом и Робертом Грассманами. Этот подход был пронизан идеей выявления отношения между познанием и бытием - идеей, которая редко интересует ма&тематиков. Тезисы Г. Грассмана о родстве философии и мате&матики как наук о бытии, соответственно, всеобщего и особен&ного; о противоположности формального (идеального) и ре&ального и, соответственно, о развитии формальных и реальных наук; об умственном конструировании «форм», приводящем к иерархии систем разного порядка; о необходимости рефор&мирования логики - все это несет на себе печать влияния Шлейермахера.

Умственное конструирование, однако, бывает разным. То, ко&торое представлено в грассмановском учении о протяженностях, не получило признания как метод математического мышления. Но этого нельзя сказать о другом способе построения «мысли&тельных форм», разработанном тем же Г. Грассманом.

К нему мы и перейдем.