Три формы записи интеграла.

==

== .

Параметризуем дугу L: , .

. Подставляя в первую форму записи, имеем:

= .

Это – 2 ая форма записи – в виде двух определенных интегралов.

Параметризуем дугу L:z=z(t),

. Это – третья форма записи – в виде определенного интеграла от комплексно - значной фунции действительной переменной.

Пример. Вычислить по трем различным дугам : 1) OB: y=x, 2) OB: y=x2, 3) OAB 1) Воспользуемся третьей формой записи интеграла, параметризуя дугу OB: (1+i)t, O(0,0) (t=0), B(1,i) (t=1). z2 = (1+i)2 t2, dz = (1+i) dt. = = =

2) .

По первой форме записи интеграла

=

=.

3) OA: y = 0, dy = 0. AB: x =1, dx = 0. Поэтому

.

Как оказалось, результат во всех трех случаях один и тот же. В чем же здесь дело? Это – случай или закономерность? Ответ на этот вопрос дает интегральная теорема Коши.