Интегральная теорема Коши (для односвязной области).

Пусть G – односвязная область, пусть функция f(z) – аналитическая в G функция, пусть L – кусочно—гладкий контур, принадлежащий области G. Тогда .

Теорему можно сформулировать и так: интеграл от аналитической функции вдоль кусочно-гладкого контура равен нулю.

Доказательство.

Обозначим D – внутренность контура L . Запишем формулу Грина . Представим интеграл в первой форме записи через два криволинейных интеграла =

Применим к каждому слагаемому в правой части равенства формулу Грина. В первом интеграле примем P = u, Q = -v.

(для аналитической функции выполнены условия Коши – Римана ).

Во втором интеграле примем P = v, Q = u.

(условие Коши – Римана).

Поэтому .

Следствие. Пусть L₁, L₂ – две кусочно-гладких дуги в односвязной области G, соединяющие точки A, B. Пусть функция f(z) – аналитическая в области G. Тогда = .

Можно дать словесную формулировку: интеграл от аналитической функции в односвязной области вдоль кусочно-гладкой дуги не зависит от формы дуги, а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

Доказательство. Образуем контур . По интегральной теореме Коши

. Но . Следовательно, .= .

Поэтому результат в рассмотренном выше примере не случаен.

Очень важный пример. Вычислить интеграл , где n – целое число, контур - окружность с центром в точке радиусом .

Покажем, что точки z на контуре можно описать уравнением , , - действительное число. В самом деле, , так как . Таким образом, контур - это геометрическое место точек комплексной плоскости, расположенных на расстоянии от точки - окружность с центром в точке радиусом .