Комплексные числа, 3 формы записи, основные операции.
Алгебраическая форма записи комплексного числа z=x+iy, x = Re z – действительная часть (real), y = Im z – мнимая часть комплексной числа (imagine), i – мнимая единица (i2 = -1).
Степени мнимой единицы: i0 =1, i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1, i5 = i, i6 = -1, i7 =-i, i8 =1,….значения повторяются через 4. Например, i23 = i20 i3 = -i, i61 = i60 i = i, и т.д. Если ввести в комплексной плоскости декартову систему координат, то x откладывают на действительной оси в комплексной плоскости (оси абсцисс), y – на мнимой оси (оси ординат).Если ввести в комплексной плоскости полярную систему координат (полярные координаты 
),
то комплексное число можно записать в тригонометрической форме 
.
Комплексное число можно ассоциировать с его радиусом – вектором. Полярная координата 
- это модуль радиуса – вектора или просто модуль комплексного числа 
, а полярный угол 
- аргумент комплексного числа, 
.
Аргумент определяется так сложно, потому что 
имеет область значений 
, а необходимо обеспечить возможность изменения полярного угла в диапазоне 
.
Пример. Записать 
в тригонометрической форме. 
.
Записать 
в тригонометрической форме. 
.
Справедлива формула Эйлера 
. Это – одна из самых красивых и фундаментальных формул в математике. Достаточно сказать, что из нее следует равенство 
, связывающее почти все основные математические константы: 0, 1, i, 
.
Используя формулу Эйлера, можно записать комплексное число в показательной форме 
. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы – три формы записи комплексных чисел.
Рассмотрим операции над комплексными числами. Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее всего производить в алгебраической форме записи.
. Например, 
. Заметим, что числа 
называются комплексно сопряженными числами.
Сложение или вычитание комплексных чисел соответствует сложению или вычитанию их радиусов векторов и может быть проведено по «правилу параллелограмма» или «правилу треугольника».
Умножение и деление комплексных чисел тоже можно выполнять в алгебраической форме.
Примеры. 
,
.
Удобнее выполнять умножение или деление в тригонометрической или показательной формах:
.
.
Итак, действует правило: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Особенно удобно использовать тригонометрическую и показательную формы при возведении комплексного числа в степень.
. С другой стороны, 
.
Из сопоставления этих выражений получается знаменитая формула Муавра
. Ее удобно применять для выражения синусов и косинусов кратных углов через степени синусов и косинусов самого угла. Например,
,
Отделяя действительные и мнимые части, получим
.
Например, 
.
Здесь можно было 
.
Рассмотрим «пятое действие арифметики» – извлечение корня.
. Пусть 
. Тогда 
. Получим формулу 
.
. Из формулы ясно, что все 
корней лежат в комплексной плоскости на круге радиуса 
с центром в начале координат на равном угловом расстоянии друг от друга 
, причем первый корень расположен под углом 
к действительной оси.
Найдем, например, 
. Определяем 
.
Все корни лежат на круге радиусом 2 с центром в начале координат, на угловом расстоянии 
друг от друга, причем первый корень лежит под углом 
к действительной оси.