Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела

Пусть и - функции, для которых существуют пределы при (): , .

Сформулируем основные теоремы о пределах:

1) Функция не может иметь более одного предела.

Предположим противное, т.е. что функция имеет 2 предела А и D, . Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции: , , где и - бесконечно малые величины при (). Вычитая почленно эти равенства, получим: , откуда . Это равенство невозможно, т.к. на основании свойства 1 бесконечно малых это величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно.

2) Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

.

3) Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

.

4) Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.

, .

5) Если , , то предел сложной функции

.

6) Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) , то

.