ПОЛНОТА ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ.

Последовательность линейных непрерывных операторов точечно сходится к оператору , если для любых .

Теорема: Если линейное нормированное пространство полное в смысле сходимости по норме, то пространство линейных ограниченных операторов также будет полным пространством (типа ).

Доказательство:

Пусть дана последовательность линейных непрерывных операторов ,сходящихся в себе в пространстве операторов, т.е.

. Тогда ().

Поэтому, для последовательность сходится в себе. В силу полноты пространства существует элемент , являющийся пределом последовательности :

.

Таким образом, ставится в соответствие , то есть определен некоторый оператор : , причем .

Проверим, принадлежит ли оператор пространству линейных непрерывных операторов , то есть, проверим, является ли он линейным и непрерывным (ограниченным).

1) =

- 53 -

. Следовательно, А - линейный оператор.

2) по условию.

Отсюда следовательно, последовательность норм сходится в себе, что означает, что ограничена по критерию Коши. Поэтому существует константа такая, что . Таким образом =, что говорит об ограниченности оператора .

Докажем, что оператор в смысле равномерной сходимости: т. к. - фундаментальная, то для , что .

Для всех имеем: при и . Перейдем в последнем неравенстве к пределу при : .

Тогда для :

в смысле сходимости по норме в пространстве линейных непрерывных операторов .

- 54 –

23.1 ЗАМЕЧАНИЕ: Убедимся, что неравенство Коши-Буняковского имеет место и в пространстве операторов .

Пусть . Тогда .

Действительно: для

. Это справедливо и для

. ч.т.д.