Требование дедуктивной полноты вполне оправдано, но выполнить его нелегко.

Требование дедуктивной полноты вполне оправдано, но выполнить его нелегко. Однако, очень важно, чтобы это требование осознавалось как важная цель аксиоматизации.

4. Взаимонезависимость.

В правильно построенной теории её различные аксиомы не должны выводиться друг из друга.

Кроме того, и самое главное, исследование взаимонезависимости аксиом -основное оружие в борьбе теорий между собой. Если бы кому-либо удалось доказать, что постулат Евклида о том, что через данную точку можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, является не постулатом, а теоремой, в ту же минуту теория Лобачевского перестала бы быть теорией. Если бы кому-либо удалось доказать, что постулат Евклида о том, что между двумя точками можно провести только одну прямую, является не постулатом, а теоремой, в ту же минуту теория Римана перестала бы быть теорией. Но поскольку этого не случилось и эти постулаты остаются постулатами, все три указанные теории имеют право на существование в качестве теорий, а при построении своей новой (четвертой) теории любой теоретик вправе в качестве своего постулата избрать любое другое утверждение взамен любого из постулатов Евклида, лишь бы первоначальные утверждения его теории не противоречили друг другу. Именно поэтому теории Евклида, Лобачевского, Римана законно сосуществуют в науке. Но как только вновь вводимая аксиома вступает в противоречие хотя бы с одной уже принятой аксиомой, новая теория в силу безусловности второго требования тут же рассыпается как карточный домик.

Итак, у нас есть элементы - понятия и первоначальные утверждения. Достаточный ли этот набор для того, чтобы любую построенную из этих элементов систему можно было бы назвать теорией? Наверное, нет. Есть еще один вид утверждений, необходимо являющихся элементами теории.

Всякая теория стремится быть полезной - нет ничего практичнее хорошей теории. А польза теории заключается в ее элементах третьего рода: теоремах, леммах, следствиях, т.е. всех тех "правильных" выводах, которые можно сделать на основании первоначальных утверждений, используя понятия данной теории. Более того, именно ради этих выводов и затевается строительство любой теории. Таким образом, под выводом мы будем понимать утверждение, полученноепутем логических построений из первоначальных утверждений (высказываний, заранее принятых в качестве истинных) и истинное (т.